A. 5. La gravitation

A.5.1) Force gravitationnelle (\(\ast\) - 5min)

Calculer l’intensité de la force d’attraction gravitationnelle entre :

1. deux atomes de masse \(m=10^{-26}\) kg, séparés de la distance \(d=1~\)Å.

2. deux bactéries (\(m=10^{-15}\) kg) séparées de la distance \(d=1~\mu\text{m}\).

3. deux grains de sable (\(m=10^{-9}\) kg) séparés de la distance \(d=1~\text{mm}\).

4. deux avions Airbus A380 (\(m=560\) tonnes) séparés de la distance \(d=10~\text{m}\).

5. les deux étoiles principales du système Alpha du Centaure, de masse \(m_A\simeq 2.2\times 10^{30}\) kg et \(m_B\simeq 1.8\times 10^{30}\) kg, séparées de la distance \(d\simeq5,4\times 10^9\) km.

Solution

La force de gravitation s’écrit: \(F_{1\rightarrow 2}=\mathcal{G}\frac{m_1 m_2}{r^2}\)

1. Deux atomes

Rappel: 1 Å = \(10^{-10}\) m

\(F=6.67\times10^{-11}\times\frac{(10^{-26})^2}{(10^{-10})^2}=6.7\times10^{-43} N\)

2. Deux bactéries

\(F=6.67\times10^{-11}\times\frac{10^{-15}\times10^{-15}}{(10^{-6})^2}=6.67\times10^{-29} N\)

3. Deux grains de sable

\(F=6.67\times10^{-11}\times\frac{10^{-9}\times10^{-9}}{(10^{-3})^2}=6.67\times10^{-23} N\)

4. Deux avions airbus A380

\(F=6.67\times10^{-11}\times\frac{560\times10^{3}\times560\times10^{3}}{10^2}=0.2 N\)

5. Les deux étoiles principales du système Alpha du Centaure

\(F=6.67\times10^{-11}\times\frac{2.2\times10^{30} \times 1.8\times10^{30} }{(5.8\times10^12)^2}=9\times10^{24} N\)

A.5.2) Atome d’hydrogène (\(\ast \ast \ast\) - 30∼45min)

L’atome d’hydrogène est constitué d’un électron, de masse \(m_e \approx 9.1\times 10^{-31}\) kg et de charge \(q_e=-e\), en interaction avec un proton, de masse \(m_p\approx 1.67\times 10^{-27}\) kg et de charge \(q_p=+e\) (\(e\approx 1,6 \times 10^{-19}~\text{C}\)). Le proton et l’électron sont séparés de la distance \(r\). On note \(\vec{u}\) le vecteur unitaire orienté du proton vers l’électron. Outre l’attraction gravitationnelle, le proton exerce sur l’électron la force de Coulomb :

\[\vec{F}_c = \frac{q_e q_p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \vec{u} \ ,\]

où \(\varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12}\) SI est la permittivité du vide.

A.5.2.1) Modèle classique

1. Faire un schéma du problème. Discuter les similitudes et les différences entre la force coulombienne et la force gravitationnelle.

2. Comparer l’intensité des deux forces pour \(r=1\) Å. Quelle force peut-on négliger ?

3. La masse du proton étant grande devant celle de l’électron, on suppose que l’électron a un mouvement circulaire uniforme autour du proton que l’on choisit comme origine du repère. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse de l’électron.

4. En déduire la relation entre la période du mouvement et le rayon \(R\) de la trajectoire.

Solution

1. Faire un schéma du problème. Discuter les similitudes et les différences entre la force coulombienne et la force gravitationnelle.

Fig. 64 Analogie entre force de Coulomb (à gauche) et force gravitationnelle (à droite)

La force de Coulomb et la force gravitationnelle ont des formes fonctionnelles similaires:

\[\begin{split}\text{Force de Coulomb}: \vec{F}_c &=\frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{q_1 q_2}{r^2} \vec{u}\\ \text{Force gravitationnelle:} \vec{F}_g &= \mathcal{G} \frac{m_1 m_2}{r^2} \vec{u}\end{split}\]

On voit que:

• les charges électriques jouent le même rôle que les masses: \(q_1,q_2 \leftrightarrow m_1,m_2\).

• la constante diélectrique joue le rôle de la constante gravitationnelle (avec un facteur multiplicatif): \(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\leftrightarrow \mathcal{G}\)

Note

On notera cependant une différence fondamentale entre les deux forces: alors que les masses sont toujours positives, les charges électriques peuvent être positives ou négatives. La force de gravitation est donc toujours attractive alors que la force de Coulomb peut être attractive (pour des charges de signes opposés) ou répulsive pour des charges de mêmes signes.

Dans le cas de l’exercice, le proton possède une charge \(+e\) et l’électron une charge opposée \(-e\) et la force de Coulomb s’écrit:

\[\vec{F}_c=-\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} \vec{u}\]

2. Comparer l’intensité des deux forces pour \(r=1\) Å. Quelle force peut-on négliger ?

Pour \(r=1\) Å:

\[\begin{split}F_c &=-\frac{(1.6\times10^{-19})^2}{4\pi\times8.85\times10^{-12} \times (10^{-10})^2} = 2.4\times10^{-8} N\\ F_g &= 6.67\times10^{-11} \times \frac{9.1\times10^{-31}\times 1.67\times10^{-27}}{(10^{-10})^2} =1.0\times10^{-47} N\end{split}\]

Donc l’interaction gravitationnelle est complètement négligeable par rapport à la force électrostatique.

3. La masse du proton étant grande devant celle de l’électron, on suppose que l’électron a un mouvement circulaire uniforme autour du proton que l’on choisit comme origine du repère. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la vitesse de l’électron.

On suppose que le proton est fixe.

• Le système est défini par l’électron

• Le bilan des forces s’écrit: \(\vec{F}_c, \vec{F}_g\), mais on vient de démontrer qu’on peut négliger \(\vec{F_g}\).

• Le principe de la dynamique s’écrit donc: \(m\vec{a}=\vec{F}_c\)

Or, nous avions vu dans l’équation (14) au Chapitre 2 que dans le cas du mouvement circulaire uniforme l’accélération s’écrit: \(a = \frac{v^2}{R}\). En remplaçant \(F_c\) par son expression, le principe fondamental de la dynamique s’écrit donc:

\[\underbrace{m \frac{v^2}{R}}_{=m a} = \underbrace{-\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 R^2} }_{=F_c}\]

On en déduit l’expression de la vitesse:

\[\boxed{v=\frac{e}{\sqrt{m_e 4\pi \epsilon_0 R}}}\]

4. En déduire la relation entre la période du mouvement et le rayon \(R\) de la trajectoire.

En une période l’électron fait un tour, qui correspond à une distance égale à la circonférence du cercle: \(2\pi R\).

La vitesse est par définition égale au rapport de la distance parcourue par la durée du trajet. Donc pour un tour on a: \(v=\frac{2\pi R}{T}\).

Or nous avons vu dans la question précédente que: \(v=\frac{e}{\sqrt{m_e 4\pi \epsilon_0 R}}\).

Donc on doit avoir:

\[\begin{split}\frac{e}{\sqrt{m_e 4\pi \epsilon_0 R}} &= \frac{2\pi R}{T} \\ \Leftrightarrow T=\frac{4 \sqrt{\pi^3 R^3 m_e \epsilon_0}}{e}\end{split}\]

A.5.2.2) Modèle quantique

Au niveau microscopique, les propriétés des particles élémentaires sont décrites par la physique quantique qui fait intervenir la constante de Planck \(h\approx 6.62\times 10^{-34}~\text{J}\cdot \text{s}\). Sans entrer dans le formalisme de cette théorie, nous allons estimer la taille de l’atome d’hydrogène en utilisant l’analyse dimensionnelle.

1. À partir de l’expression de la force \(\vec{F}_c\), déterminer la dimension de \(\varepsilon_0\).

2. On suppose une relation de la forme : \(R = f(e,m_e,h,\varepsilon_0)\). En déduire que le rayon de l’atome d’hydrogène est proportionnel au rayon de Bohr \(a_0\) :

   \[a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} \ .\]

3. Calculer la valeur numérique du rayon de Bohr.

Solution

1. À partir de l’expression de la force \(\vec{F}_c\) , déterminer la dimension de \(\varepsilon_0\)

Écrivons l’expression de la force de Coulomb sous la forme d’une équation aux dimensions:

\[\begin{split}F_c &= -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} \Rightarrow [\text{Force}] = \frac{[\text{charge}]^2}{\underbrace{[4\pi]}_{=1} [\epsilon_0] \cdot [\text{longueur}]^2} \\ \Rightarrow [\epsilon_0] &=\frac{[\text{charge}]^2}{[\text{Force}] \cdot [\text{longueur}]^2}\end{split}\]

Or (voir Chapitre 1):

\[\begin{split}[\text{Force}] &= M\cdot L \cdot T^{-2} \\ [\text{charge}] &= I \cdot T\end{split}\]

Donc:

\[[\epsilon_0] = \frac{I^2 \cdot T^2}{M\cdot L \cdot T^{-2} \cdot L^2} = M^{-1} L^{-3} T^{4} I^{2}\]

L’unité S.I. correspondante est donc: \(m^{-3} \cdot kg^{-1} \cdot s^{4} \cdot A^2\)

2. On suppose une relation de la forme: \(R = f(e,m_e,h,\varepsilon_0)\) . En déduire que le rayon de l’atome d’hydrogène est proportionnel au rayon de Bohr \(a_0\)

Procédons par analyse dimensionnelle: on suppose une relation de la forme:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}R &= f(e,m_e,h,\varepsilon_0) = C \cdot e^{\alpha} \cdot m_e^{\beta} \cdot h^{\gamma} \cdot \epsilon_0^{\delta}\\\end{split}\\\begin{split}\Rightarrow [R] &= [e]^{\alpha} \cdot [m_e]^{\beta} \cdot [h]^{\gamma} \cdot [\epsilon_0]^{\delta}\\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

Il nous faut déterminer les dimensions de \(h\). D’après ses unités (\(J\cdot s\)) on voit immédiatement que \([h]=[\text{énergie}] \cdot [\text{temps}]= \underbrace{M\cdot L^2 \cdot T^{-2}}_{\text{énergie}} \cdot T = M\cdot L^2 \cdot T^{-1}\)

Par ailleurs on se rappelle que: \([e]=I\cdot T\) (voir ci-dessus et Chapitre 1).

L’équation aux dimensions précédente s’écrit donc:

\[ \begin{align}\begin{aligned}\begin{split}L &= (I \cdot T)^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot (M\cdot L^2 \cdot T^{-1})^{\gamma} \cdot (M^{-1} L^{-3} T^{4} I^{2})^{\delta} \\\end{split}\\\begin{split}L &= L^{2\gamma - 3\delta} \cdot T^{\alpha - \gamma + 4\delta} \cdot M^{\beta+\gamma-\delta} \cdot I^{\alpha+2\delta} \\\end{split}\end{aligned}\end{align} \]

par identification, on obtient le système d’équations:

\[\begin{split}\begin{cases} 2\gamma - 3\delta = 1 &\ \ \ \ (1)\\ \alpha - \gamma + 4\delta =0 &\ \ \ \ (2)\\ \beta+\gamma-\delta=0 &\ \ \ \ (3)\\ \alpha+2\delta=0 &\ \ \ \ (4) \end{cases}\end{split}\]

\((4) \Rightarrow \alpha = -2\delta\) donc en reportant dans \((2)\):

\[\begin{split}-2\delta - \gamma + 4 \delta = 0 \\ \Leftrightarrow \gamma = 2 \delta\end{split}\]

On reporte dans \((1)\) et on obtient: \(4\delta - 3\delta =1\).

D’où:

\[\begin{split}\begin{cases} \delta =1\\ \gamma=2\\ \alpha=-2\\ (3) \Rightarrow \beta = \delta - \gamma = -1 \end{cases}\end{split}\]

Finalement on trouve comme expression:

\[ \begin{align}\begin{aligned}R = C \cdot e^{2} \cdot m_e^{-1} \cdot h^2 \cdot \epsilon_0\\\Leftrightarrow \boxed{R= C \frac{\epsilon_0 h^2}{m_e e^2} = C \pi a_0 \propto a_0}\end{aligned}\end{align} \]

3. Calculer la valeur numérique du rayon de Bohr.

Application numérique:

\[a_0=\frac{\epsilon_0 h}{\pi m_e e^2} = \frac{8.85\times10^{-12} \times (6.62\times10^{-34})^2}{\pi \times 9.1\times10^{-31} (1.6\times10^{-19})^2}=0.53 \AA\]