1. Analyse dimensionnelle

1.1 Force et puissance \((\ast)\)

1. En quelle unité s’exprime une force ? En partant de la définition du poids, déterminer la dimension \([F]\) d’une force.

2. La puissance d’une force est donnée par : \(\mathcal{P}=F \times v\), où \(v\) est la vitesse. En déduire la dimension \([\mathcal{P}]\) de la puissance, ainsi que la relation entre le watt et les unités de base du système international.

Solution

Question 1.

Le poids est défini par: \(\vec{P}=m \vec{g}\), où \(\vec{g}\) est le vecteur accélération de la pesanteur. On en déduit donc que:

\[\begin{split}[P] &= [m g] = [m] \cdot [g] \\\end{split}\]

Or \(g\) étant une accélération, sa dimension est celle d’une longueur par unité de temps au carré: \([g]=L \cdot T^{-2}\). Donc finalement:

\[[P] = M \cdot L \cdot T^{-2}\]

Question 2.

Puisque \(\mathcal{P}=F \times v\) et d’après la question précédente:

\[\begin{split}\begin{align} [P] &= [F] \cdot [v] = \underbrace{M \cdot L \cdot T^{-2}}_{[F]} \quad \cdot \quad \underbrace{L \cdot T^{-1}}_{[v]} \\ [P] &= M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \end{align}\end{split}\]

1.2 Vitesse du son dans l’air \((\ast \ast)\)

Lorsqu’une onde sonore se propage dans l’air, sa vitesse dépend de deux paramètres : la pression \(p\) et la masse volumique \(\rho\) de l’air.

1. Une pression est homogène à une force par unité de surface. En déduire la dimension \([p]\) de la pression. Préciser également la dimension \([\rho]\) de la masse volumique.

2. On suppose que la vitesse du son vérifie une relation de la forme : \(v=C \times \rho^{\alpha}\times p^{\beta}\), où \(C\) est une constante numérique sans dimension. En procédant par analyse dimensionnelle, déterminer les exposants \(\alpha\) et \(\beta\).

3. Donner une estimation de la vitesse du son dans l’air. On prendra : \(\rho \simeq 1~\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}\) et \(p\simeq 10^5~\text{Pa}\). Comparer à la valeur connue : \(v\simeq 340~\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\).

Solution

Question 1.

Dans l’exercice précédent nous avons vu que la dimension d’une force est: \([F]=M\cdot L \cdot T^{-2}\). Par ailleurs une surface \(S\) a pour dimension une longueur au carré \([S]=L^2\).

On en déduit donc que la pression, qui est une force par unité de surface, a pour dimension:

\[\begin{split}\begin{align} [p] &= \frac{[F]}{[S]} \\ [p] &= \frac{M\cdot L \cdot T^{-2}}{L^2} \\ [p] &= M\cdot L^{-1} \cdot T^{-2} \end{align}\end{split}\]

et la dimension de \(p\) est donc: \(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}\).

Par définition une masse volumique est une masse par unité de volume. La dimension d’un volume est une longueur au carré, et donc:

\[[\rho]= M \cdot L^{-3}\]

Question 2.

Procédons en suivant les étapes de la méthode d’analyse dimensionnelle vue en cours:

Étape 1: Modélisation du problème: l’énoncé fait cette étape pour nous et nous indique que les grandeurs pertinentes dans notre problème sont la masse volumique et la pression.

Étape 2: Analyse dimensionnelle: écrivons l’équation aux dimensions de notre problème.

\[\begin{split}\begin{align} v &= C \times \rho^{\alpha}\times p^{\beta} \\ [v] &= [\rho^{\alpha}] \times [p^{\beta}] \\ L \cdot T^{-1} &= \Big(\underbrace{M \cdot L^{-3}}_{[\rho]}\Big)^{\alpha} \quad \cdot \quad \Big(\underbrace{M\cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}_{p}\Big)^{\beta} \\ L \cdot T^{-1} &= M^{\alpha} \cdot L^{-3 \alpha} \cdot M^{\beta} \cdot L^{-\beta} \cdot T^{-2 \beta} \\ M^{0} \cdot L \cdot T^{-1} &= M^{\alpha+\beta} \cdot L^{-3 \alpha -\beta} \cdot T^{-2\beta} \\ \end{align}\end{split}\]

Et en comparant terme à terme les deux côtés de l’équation on peut déduire:

\[\begin{split} \begin{cases} 0 = \alpha+ \beta \\ 1 = - 3 \alpha - \beta \\ -1 = -2 \beta \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \alpha = -\frac{1}{2} \\ \beta = \frac{1}{2} \\ \end{cases} \\\end{split}\]

Soit finalement:

\[v=C\times p^{\frac{1}{2}} \times \rho^{\frac{1}{2}} = C \times \sqrt{\frac{p}{\rho}}\]

Question 3.

En prenant \(C=1\), et en se rappelant que \(1 Pa = 1 kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}\) on obtient la valeur suivante pour la vitesse du son dans l’air:

\[v=\sqrt{10^5/1}=100 m\cdot s^{-1}\]

Cette valeur est environ 3.4 fois plus petite que la valeur attendue, donc notre hypothèse sur la valeur de \(C\) est incorrecte, et \(C\) est en fait beaucoup plus grand.

1.3 Résonance d’une corde de guitare \((\ast \ast)\)

On considère une corde tendue entre deux supports séparés de la distance \(\ell\). La masse \(m\) de la corde étant répartie uniformément, on définit la masse linéïque \(\mu= m/\ell\). On souhaite déterminer la fréquence \(f\) des oscillations de la corde.

1. En quelle unité se mesure une fréquence ? Donner la dimension de \(f\). Préciser également la dimension de \(\mu\).

2. On note \(F\) l’intensité de la force de tension qui s’exerce sur la corde. Proposer un raisonnement simple pour déterminer la dimension d’une force.

3. Établir par analyse dimensionnelle la loi de variation de \(f\) en fonction des paramètres \(\ell\), \(F\), et \(\mu\). Pour cela, on posera \(f=C \times \ell^{\alpha} \times \mu^{\beta}\times F^{\gamma}\).

4. On augmente \(F\) à longueur constante : le son devient-il plus grave ou plus aigu ?

Solution

Question 1.

En physique, la fréquence est le nombre de fois qu’un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Sa dimension est donc l’inverse d’un temps \([f_c]=T^{-1}\)

Une masse linéïque est une masse par unité de longueur. Sa dimension est donc: \([\mu]=M\cdot L^{-1}\).

Question 2.

Toutes les forces ont la même dimension, on peut donc prendre une force que l’on connait bien, comme par exemple le poids \(P=mg\), et déterminer sa dimension (voir Exercice 1). On trouve que les forces ont pour dimension \([F]=M \cdot L \cdot T^{-2}\).

Question 3.

On cherche à exprimer la fréquence sous la forme: \(f_c=f(F,\mu,\ell)\). Si une telle relation existe, nous faisons comme toujours l’hypothèse qu’elle peut s’écrire sous la forme: \(f_c=C\cdot \ell^{\alpha} \cdot \mu^{\beta} \cdot F^{\gamma}\) où \(C\) est une constante numérique sans dimension.

Écrivons l’équation aux dimensions correspondante:

\[\begin{split}[f_c] &= [C] \cdot [\ell^{\alpha}] \cdot [\mu^{\beta}] \cdot [F^{\gamma}] \\ F^{-1} &= L^{\alpha} \cdot (M\cdot L^{-1})^{\beta} \cdot (M\cdot L \cdot F^{-2} )^{\gamma} \\ F^{-1} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot L^{-\beta} \cdot M^{\gamma} \cdot L^{\gamma} \cdot F^{-2\gamma} \\ M^0 \cdot L^0 \cdot F^{-1} &= L^{\alpha-\beta+\gamma} \cdot M^{\beta+\gamma} \cdot F^{-2\gamma} \\\end{split}\]

Et en identifiant terme à terme on peut déduire:

\[\begin{split}\begin{cases} \alpha - \beta + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \\ -2 \gamma = -1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \alpha = -1 \\ \beta = -\frac{1}{2} \\ \gamma = \frac{1}{2} \end{cases} \\\end{split}\]

Finalement on trouve une relation de la forme: \(f_c=C \cdot \ell^{-1} \cdot \mu^{-\frac{1}{2}} \cdot F^{\frac{1}{2}}\), ce qui s’écrit aussi:

(55)\[\boxed{f_c=\frac{C}{\ell} \sqrt{\frac{F}{\mu}}}\]

Question 4.

Si \(F\) augmente, tous les autres paramètres restant constants, alors la fréquence va augmenter, puisqu’elle varie comme la racine carré de la force de tension. Une fréquence plus grande correspond à un son plus aigu.

Pour aller plus loin: les instruments à cordes

C’est sur ce principe que fonctionne tous les instruments à corde.

On voit donc que la fréquence \(f_{c}\) augmente (son plus aigu) si:

• la tension de la corde augmente

• ou la longueur de la corde diminue

• ou la masse linéïque de la corde diminue (par exemple si la corde est plus fine)

ce qu’on peut vérifier expérimentalement avec (par exemple) une guitarre.

	En réglant les chevilles, on augmente ou diminue la tension \(F\) et donc on peut obtenir un son respectivement plus aigu ou plus grave
	En posant les doigts sur les frettes du manche, on choisi la longueur effective de la corde (entre le frette et le sillet de chevalet) pour produire un son plus aigu (corde plus courte) ou plus grave (corde plus longue)
	les différentes cordes d’un instrument ont des tailles différentes, les plus grosses produisant des sons plus graves que les plus fines

1.4 Rayon d’un trou noir \((\ast \ast \ast)\)

La vitesse de libération \(v_{l}\) est la vitesse minimale que doit atteindre un corps afin d’échapper à l’attraction gravitationnelle d’une étoile ou d’une planète. Cette vitesse dépend du rayon \(R\) et de masse \(m\) de l’astre, ainsi que de la constante gravitationnelle : \(\mathcal{G} \simeq 6,67 \times 10^{-11}~\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot \text{kg}^{-2}\).

1. Déterminer la dimension de \(\mathcal{G}\).

2. On suppose qu’il existe une relation de la forme : \(v_{l}=C\times R^{\alpha} \times m^{\beta} \times \mathcal{G}^{\gamma}\). En procédant par analyse dimensionnelle, établir la relation :

   \[v_l = C \sqrt{ \frac{m \mathcal{G}}{R}} \ .\]

3. Lorsque la vitesse de libération devient égale à la vitesse de la lumière \(c\simeq 3 \times 10^8~\text{m}\cdot\text{s}^{-1}\), plus rien — ni matière, ni lumière — ne peut s’échapper de l’astre : on est alors en présence d’un trou noir. En déduire le rayon \(R_S\) d’un trou noir (aussi appelé rayon de Schwarzschild).

4. Donner une estimation de la taille d’un trou noir de masse égale à celle de notre Soleil (\(m \simeq 2 \times 10^{30}~\text{kg}\)).

Solution

Question 1.

Les unités de \(\mathcal{G}\) nous permettent de voir immédiatement que ses dimensions sont homogènes à une force (\(N\))) multipliée par une surface (\(m^2\)) divisée par une masse au carré (\(kg^{-2}\)). Or nous avons vu dans le cours et l”Exercice 1 que les forces ont pour dimension: \([F]=M \cdot L \cdot T^{-2}\) Donc finalement:

\[\begin{split}[\mathcal{G}] &= M \cdot L \cdot T^{-2} L^{2} \cdot M^{-2} \\ &= L^3 \cdot M^{-1} \cdot T^{-2}\end{split}\]

Question 2.

On cherche à exprimer la vitesse de libération sous la forme: \(v_{l}=f(\mathcal{G},R,m)\). On fait l’hypothèse que si une telle relation existe alors elle sera de la forme: \(v_{l}=C\cdot R^{\alpha} \cdot m^{\beta} \cdot \mathcal{G}^{\gamma}\) où \(C\) est une constante numérique sans dimension. Ceci s’écrit en terme de dimensions:

\[\begin{split}[v_{l}] &= [R^{\alpha}] \cdot [m^{\beta}] \cdot [\mathcal{G}^{\gamma}] \\ L \cdot T^{-1} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot [\mathcal{G}^{\gamma}] \\\end{split}\]

En reportant l’expression de la dimension de \(\mathcal{G}\) on obtient l’équation aux dimensions de notre problème:

\[\begin{split}L \cdot T^{-1} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot \big(L^3 \cdot M^{-1} \cdot T^{-2}\big)^{\gamma} \\ L \cdot T^{-1} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot L^{3\gamma} \cdot M^{-\gamma} \cdot T^{-2\gamma} \\ M^{0} \cdot L \cdot T^{-1} &= L^{\alpha+3\gamma} \cdot M^{\beta-\gamma} \cdot T^{-2\gamma} \\\end{split}\]

Et en comparant terme à terme on peut déduire:

\[\begin{split} \begin{cases} \alpha + 3\gamma = 1 \\ \beta - \gamma = 0 \\ -2\gamma = -1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \alpha = -\frac{1}{2} \\ \beta = \frac{1}{2} \\ \gamma = \frac{1}{2} \end{cases} \\\end{split}\]

Finalement on peut donc écrire que la vitesse de libération s’écrit:

\[v_{l}=C \cdot R^{-\frac{1}{2}} \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot \mathcal{G}^{\frac{1}{2}}\]

soit:

\[\boxed{v_{l}=C\cdot\sqrt{\frac{\mathcal{G} m}{R}}}\]

Question 3.

Si la vitesse de libération est supérieure ou égale à la vitesse de la lumière, alors: \(v_{l}=\sqrt{C\frac{\mathcal{G} M}{R}} \ge c\).

Le rayon de Schwarzschild vaut donc:

\[\begin{split}R\ge \frac{2\mathcal{G}M}{c^2} \\\end{split}\]

Question 4.

On ne connait pas \(C\) et ont fait l’hypothèse que \(C=1\). Alors le rayon du trou noir de masse égale à celle de notre Soleil est:

\[R \ge \frac{1\times6.64\times10^{-11}\times2\times10^{30}}{(3\times10^8)^2} = 1482m\]

au lieu de 696 000km !!!

En fait le coéfficient \(C=2\), et on trouve:

\[R \ge \frac{2\times6.64\times10^{-11}\times2\times10^{30}}{(3\times10^8)^2} = 2964m\]

Pour aller plus loin

Un peu d’histoire…

Le concept de « trou noir » remonte à 1783, lorsque le scientifique britannique John Michell se posa la question suivante: puisqu’il faut une certaine vitesse - la vitesse de libération - pour s’échapper de l’attraction gravitationnelle d’un objet, que se passerait-il si cet objet était tellement massif que même la vitesse de la lumière n’y suffirait pas ? Rien ne pourrait s’en échapper, pas même la lumière, et cet objet serait donc invisible. Cette notion revient sur le devant de la scène scientifique au début du XXème siècle avec la théorie de la relativité générale d’Einstein et les travaux de Karl Schwartzschild qui obtient une solution exacte aux équations d’Einstein. Cette solution introduit un paramètre physique particulier, le rayon de Schwartzschild, qui correspond au rayon définissant l’horizon des évènements des trous noirs, qui n’est rien d’autre que la distance à partir de laquelle la vitesse de libération atteint celle de la lumière.

Fig. 26 Vue d’artiste de l’horizon d’un trou noir, plus particulièrement de l’horizon de Schwarzschild. Le rayon de Schwarzschild est illustré par le cercle blanc indiqué par la flèche. Crédit: Ute Kraus, Physics education group Kraus, Universität Hildesheim, Space Time Travel, (background image of the milky way: Axel Mellinger)

La première image d’un trou noir!

En 2019, l’équipe de l”Event Horizon Telescope publie la première image de l’environnement immédiat d’un trou noir. On y distingue parfaitement un disque d’accrétion.

Pour pouvoir obtenir cette image du voisinage d’un trou noir super-massif, les astronomes on du combiner le signal radio collecté sur plusieurs téléscopes répartis sur toute la Terre. Ce “super-télescope virtuel” , avec un diamètre effectif équivalent à celui de la planète Terre, est appelé Event Horizon Telescope (EHT) puisqu’il sonde l’horizon du trou noir.

Fig. 27 Positions des radio-télescopes utilisés pour observer le trou noir. Crédit: ESO/O. Furtak

L’image produite par l’EHT montre en fait l’ombre du trou noir sur son disque d’accrétion. Les trous noirs « aspirent » en effet toute la matière qui les entourent. Celle-ci spirale vers le trou noir comme l’eau dans un tourbillon en formant un disque d’accrétion. Comme cette matière accélère et s’échauffe violemment au fur et à mesure qu’elle s’approche du trou noir, elle émet dans le domaine des ondes radios. L’image montre que ce disque est un peu asymétrique. Cette image et les propriétés qui peuvent être mesurées (comme par exemple le rayon!) sont en bon accord avec les prédictions théoriques de la relativité générale d’Einstein.

Gargantua

Cette image suggère aussi que le trou noir montré dans le film Interstellar de Christopher Nolan est probablement assez réaliste. Nolan souhaitait avoir une reproduction aussi proche de la réalité que possible, et avait fait appel au prix Nobel de physique Kip Thorne (voir plus loin) pour essayer de créer une simulation réaliste de trou noir. Thorne a donc travaillé avec l’équipe effets spéciaux de Nolan et produit l’image maintenant célèbre du trou noir Gargantua montré dans le film. Il décrit cette colaboration et les aspects scientifiques et techniques dans un livre intitulé « The Science of Interstellar » . Il explique notamment que certaines simplifications et hypothèses ont bien sûr dûes être faites pour rendre la simulation intelligible sur la durée du film…

Le trou noir fictif Gargantua dans le film Interstellar	Image réelle du trou noir dans la galaxie Messier 87 obtenue par l’EHT
Crédit: Warner Bros	Crédit: EHT

Des simulations plus réalistes et prenant en compte au mieux tous les phénomènes physiques ont été réalisées il y a une trentaine d’années par J.-A. Marck (Fig. 28). Elles montrent l’apparence d’un trou noir sous différents angles de vue. Une des images est très proche de l’image de Gargantua, avec en plus une asymmétrie prononcée d’un côté: le côté du disque qui s’approche de l’observateur. Cette amplification de la lumière est une conséquence de l’effet Doppler relativiste, et est également visible dans l’image de l’EHT.

Fig. 28 Simulation de trou noir vu à différents angles. Crédit: J.-A. Marck, 1989.

C’est la courbure de l’espace-temps à proximité du trou noir qui produit les distorsions optiques. La :numref`fig-trou-noir-distorsions` montre que pour de faible inclinaison, au lieu de voir un disque de profil on voit plusieurs images du disque. La lumière émise par la face supérieure du disque forme une image directe tellement déformée que le disque entier est complètement visible. La lumière émise par la face inférieure est également visible grace aux rayons extrêmement courbés.

Fig. 29 Distorsions optiques créees par un trou noir. Crédit: J.-P. Luminet, Black Holes, Cambridge University Press, 1992.

L’étude des trous noirs récompensée par la communauté scientifiques

Avant l’image de l’EHT, les astronomes avaient obtenu des preuves indirectes de l’existence des trous noirs.

En 2021 le prix Nobel de physique a été décerné à des chercheurs pour leurs travaux sur les trous noirs. Roger Penrose pour ses travaux théoriques sur la formation de ces objets exotiques et R. Genzel et A. Ghez pour leurs observations indirectes du trou noir présent dans le centre de notre galaxie, la Voie Lactée. L’animation ci-dessous montre le mouvement des étoiles autour du trou noir super-massif présent au centre de notre galaxie mesurés par Ghez et Genzel pendant 2 décennies.

Crédit: U. of Illinois NCSA Advanced Visualization Laboratory, Prof. Andrea Ghez et son équipe de l’université UCLA, à partir de données obtenues au télescope W. M. Keck.

En 2017, le prix Nobel de Physique a récompensé R. Weiss, B. C. Barish et K. S Thorne pour leurs travaux sur les ondes gravitationnelles. L’observation d’ondes gravitationnelles fournissait une autre preuve indirecte de l’existence de trous noirs, et en particulier de la collision de 2 trous noirs illustrée dans l’animation ci-dessous.

Crédit: LIGO Laboratory/T. Pyle