A.1. Analyse dimensionnelle

A.1.1 Équations d’état d’un gaz \((\ast)\)

On considère \(n\) moles d’un gaz contenues dans un récipient de volume \(V\), à la pression \(p\) et à température \(T\). Les propriétés du gaz dépendent de la constante universelle : \(R \approx 8,315~\text{J}\cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

1. Dans le cas d’un gaz parfait, les variables sont reliées par l’équation d’état : \(pV=nRT\). Vérifier l’homogénéité de cette relation.

2. On suppose maintenant que le gaz est décrit par l’équation de van der Waals:

   \[\left(p+ a \frac{n^2}{V^2} \right) (V-nb)=nRT\]

   où \(a\) et \(b\) sont des constantes. Déterminer les dimensions et les unités de \(a\) et \(b\).

Solution

Question 1.

Commençons par déterminer la dimension de \(R\):

\[\begin{split}[R] &= [\text{Énergie}] \cdot N^{-1} \cdot \Theta^{-1} \\ [R] &= (M\cdot L^2\cdot T^{-2}) \cdot N^{-1} \cdot \Theta^{-1}\end{split}\]

Nous pouvons maintenant écrire l’équation aux dimensions de l’équation des gaz parfaits: \(p V = n R T\)

\[\begin{split}[p V] = \underbrace{(m\cdot L^{-1} \cdot T^{-2})}_{[p]} \cdot \underbrace{L^3}_{[V]} = M\cdot L^2 \cdot T^{-2} \\ [n R T] = \underbrace{N}_{[n]} \cdot \underbrace{M\cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot N^{-1} \cdot \Theta^{-1}}_{[R]} \underbrace{\Theta}_{[T]} = M\cdot L^2 \cdot T^{-2}\end{split}\]

La formule est donc bien homogène.

Question 2.

Équation de Van der Waals: \(\left(p+ a \frac{n^2}{V^2} \right) (V-nb)=nRT\)

Pour déterminer la dimension de \(a\), nous allons utiliser le fait que dans une somme, les dimensions des grandeurs doivent être égales (on ne peut pas ajouter des mètres et des kilogrammes). On doit donc forcément avoir:

\[\begin{split}[p] &= [a\frac{n^2}{V^2}] = [a] \cdot \frac{[n^2]}{[v^2]} \\ [a] &= \frac{[p][V^2]}{[n^2]}=(M L^{-1} T^{-2}) (L^6) (N^{-2})\end{split}\]

et donc finalement:

\[\boxed{[a] = M\cdot L^5 \cdot T^{-2} \cdot N^{-2}}\]

En procédant de la même façon pour b, on doit avoir:

\[[V] = [n b] \implies [b] = \frac{[V]}{[n]}\]

et donc:

\[\boxed{[b] = L^3 \cdot N^{-1}}\]

Les unités associées sont donc:

• a s’exprime en \(kg \cdot m^5 \cdot s^{-2} \cdot \text{mol}^{-2}\)

• b s’exprime en \(m^3 \cdot \text{mol}^{-1}\)

A.1.2 Définition du volt \((\ast \ast)\)

L’énergie \(E\) d’une particule de charge \(q\) soumise à la tension électrique \(U\) est : \(E=qU\).

1. Rappeler la dimension d’une énergie et d’une charge électrique.

2. L’unité de tension est le volt : s’agit-il d’une unité de base du système international ?

3. Établir une relation entre le volt, le mètre, le kilogramme, la seconde et l’ampère.

Solution

Question 1.

Nous avons vu en cours que la dimension d’une énergie est: \(M\cdot L^2 \cdot T^{-2}\).

On peut le retrouver simplement en utilisant par exemple la formule de l’énergie cinétique \(E_c=\frac{1}{2}mv^2\) ou encore celle de l’énergie de masse \(E=mc^2\).

Nous avond églament vu en cours que la dimension d’une charge électrique est: \([Q]=I \cdot T\).

On peut le retrouver en se rappeler qu’une intensité de courant électrique est une variation de charge électrique par unité de temps: \(i=\frac{dq}{dt}\)

Question 2.

Le volt n’est pas une unité de base du SI.

Question 3.

Pour exprimer 1 volt en unité SI, nous allons d’abord trouver sa dimension en utilisant une relation simple de la physique entre l’énergie électrique \(E\), la charge électrique \(q\) et la différence de potentiel \(U\). Nous avons: \(E=q\cdot U\), donc:

\[[U] = \frac{[E]}{[q]} = \frac{M\cdot L^2 \cdot T^{-2}}{I \cdot T} = M\cdot L^{2} \cdot T^{-3} I^{-1}\]

On déduit alors que le volt s’exprime comme:

\[\boxed{1V=1 kg\cdot m^{2} \cdot s^{-3} \cdot A^{-1}}\]

A.1.3 Propriétés d’un quantum dot \((\ast \ast \ast)\)

Les propriétés d’un électron confiné dans une structure nanométrique sont décrites par la physique quantique, et font donc intervenir la constante de Planck \(h\approx 6,62\times 10^{-34}~\text{J}\cdot \text{s}\). On note \(V=a^3\) le volume de la nanostructure que l’on suppose cubique, et \(m_e\) la masse de l’électron. Établir par analyse dimensionnelle l’expression de l’énergie \(E\) de l’électron confiné en fonction de \(a\), \(m_e\) et \(h\).

Solution

On cherche à exprimer l’énergie sous la forme: \(E=f(m_e,a,h)\). Si une telle relation existe, nous faisons comme toujours l’hypothèse qu’elle peut s’écrire sous la forme: \(E=C\cdot a^{\alpha} \cdot m_e^{\beta} \cdot h^{\gamma}\) où \(C\) est une constante numérique sans dimension.

Écrivons l’équation aux dimensions correspondante:

\[\begin{split}[E] &= [C] \cdot [a^{\alpha}] \cdot [m_e^{\beta}] \cdot [h^{\gamma}] \\ M\cdot L^2 \cdot T^{-2} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot [h^{\gamma}] \\\end{split}\]

or \(h = 6.62\times 10^{-34} J\cdot s\). Les unités de h nous permettent donc d’écrire que: \([h]=[Énergie]\cdot T = (M\cdot L^2\cdot T^{-2}) \cdot T = M \cdot L^2 \cdot T^{-1}\). On reporte dans l’équation précédente et on obtient:

\[\begin{split}M\cdot L^2 \cdot T^{-2} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot (M\cdot L^2 \cdot T^{-1})^{\gamma} \\ M\cdot L^2 \cdot T^{-2} &= L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot M^{\gamma} \cdot L^{2\gamma} \cdot T^{-\gamma} \\ M\cdot L^2 \cdot T^{-2} &= L^{\alpha + 2\gamma} \cdot M^{\beta+\gamma} \cdot T^{-\gamma} \\\end{split}\]

Et en comparant terme à terme on peut déduire:

\[\begin{split}\begin{cases} \alpha + 2\gamma = 2 \\ \beta + \gamma = 1 \\ -\gamma = -2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \alpha = -2 \\ \beta = -1 \\ \gamma = 2 \end{cases} \\\end{split}\]

Finalement on trouve une relation de la forme:

\[\boxed{E=C \cdot a^{-2} \cdot m_e^{-1} \cdot h^{2}}\]