4. Dynamique du point

Nous appliquons maintenant les lois de Newton pour décrire la dynamique des points matériels. Les forces discutées dans ce chapitre sont des forces de contact : frottement, tension et réaction.

Forces de réaction et de tension

Réaction d’un support

Considérons un corps en contact avec une surface solide — un livre posé sur une table par exemple, comme représenté sur la Fig. 14 (a). Si le corps n’était soumis qu’à la seule force pesante $\vec{P}$, il serait en chute libre. Pour rétablir l’équilibre mécanique, il faut donc que le support exerce une force en retour afin de compenser le poids. Il s’agit de la force de réaction $\vec{R}_n$, dont les caractéristiques sont les suivantes :

elle s’applique au niveau du contact entre le système et le support.
elle est perpendiculaire au support, et orienté du support vers le système.
son intensité découle du principe fondamental de la dynamique.

Il est important de noter que l’intensité de cette force n’est pas constante : elle s’adapte aux autres forces auxquelles est soumis le système. Dans l’exemple de la Fig. 14 (a), la force de réaction est de même direction et même norme que le poids, mais de sens opposé.

À titre d’illustration, nous étudions le mouvement d’un corps assimilé à un point matériel le long d’un support incliné d’un angle $\alpha$ par rapport à l’horizontale. Cette situation est schématisée sur la Fig. 14 (b).

Système : point matériel de masse $m$
Repère : repère cartésien $Oxyz$. L’origine $O$ correspond à la position initiale du point matériel. L’axe $(Ox)$ est confondu avec le support et est orienté vers le bas. L’axe $(Oy)$ est perpendiculaire au support.
Bilan des forces :
- le poids $\vec{P}=m\vec{g}$
- la réaction du support $\vec{R}_n$
- les forces de frottement sont négligées
Principe fondamental de la dynamique : $\vec{P}+\vec{R}_n=m\vec{a}$

Cette égalité vectorielle est alors projetée sur les axes du repère. On commence par déterminer les composantes des forces :

\[\begin{split}\vec{P} = \begin{pmatrix} mg \sin \alpha \\ -mg \cos \alpha \end{pmatrix} \ , \quad \text{et} \quad \vec{R}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ R_n \end{pmatrix} \ ,\end{split}\]

où $R_n=\Vert \vec{R}_n \Vert$. On voit sur cet exemple qu’il est absolument indispensable de faire un schéma pour projeter les forces. On sera particulièrement vigilant quant au signe des composantes (+ ou - selon que la force soit dans le même sens que le vecteur de base ou en sens opposé). On peut également vérifier que l’on retrouve bien $\vec{P}=-mg \vec{e}_y$ si le support est horizontal ($\alpha=0$).

_images/ch4_reaction.pdf — Fig. 14 Gauche: (a) À l’équilibre, la réaction $\vec{R}_n$ du support compense exactement le poids $\vec{P}$. Droite: (b) Si la surface est inclinée, le mouvement du solide est décrit par les équations (40) et (41) ).

Le principe fondamental de la dynamique conduit donc à un système d’équations :

(40)\[\begin{aligned} & m \displaystyle{\frac{d^2 x}{ d t^2}} = mg\sin \alpha \end{aligned}\]

(41)\[\begin{split}\begin{aligned} & m \displaystyle{\frac{d^2 y}{ d t^2}} = -mg\cos \alpha + R_n \\ \end{aligned}\end{split}\]

Le point matériel étant en permanence en contact avec le support, on a par définition : $y(t)=0$, et par conséquent : $d y/ dt=d^2 y/ dt^2=0$. L’équation (41) permet donc de déterminer l’intensité de la force de réaction : $R_n= mg \cos \alpha$. L’équation (40) décrit quant à elle à un mouvement uniformément accéléré dans le champ de pesanteur « effectif » : $g_{\textrm{eff}}=g\sin \alpha$.

Tension d’un fil

Une autre force de contact usuelle est la force de tension, qui agit lorsqu’un point matériel est accroché à l’extrémité d’un fil inextensible (c’est-à-dire dont la longueur $\ell$ est constante). Comme pour la force de réaction, le point matériel serait en chute libre s’il n’était soumis qu’à son seul poids. Pour rétablir l’équilibre mécanique, on introduit la force de tension $\vec{T}$ dont les caractéristiques sont les suivantes :

direction : la droite définie par le fil.
sens : du point matériel vers le fil.
norme : découle du principe fondamental de la dynamique.

Encore une fois, l’intensité de la force n’est pas constante mais s’adapte aux autres forces auxquelles est soumis le système.

_images/ch4_tension.pdf — Fig. 15 Gauche: (a) À l’équilibre mécanique, la tension $\vec{T}$ du fil vient compenser le poids $\vec{P}$. Droite: (b) Lorsqu’on écarte le pendule de sa position d’équilibre, on réalise un oscillateur harmonique.

Application : oscillations d’un pendule

Supposons que l’on écarte le point matériel $M$ de sa position d’équilibre. L’extrémité du fil est accroché au point fixe $O$, que l’on choisit comme origine du repère $Oxy$ représenté sur la Fig. 15 (b). On note $\varphi$ l’angle avec l’axe vertical.

Système : point matériel $M$ de masse $m$
Repère : base locale $(\vec{e}_n,\vec{e}_{t})$
Bilan des forces :
- le poids : $\vec{P}=m\vec{g}= mg\cos \varphi \, \vec{e}_n -mg\sin \varphi \, \vec{e}_{t}$
- la tension du fil : $\vec{T} = -T \,\vec{e}_n$ (où $T=\Vert \vec{T} \Vert$)
Principe fondamentale de la dynamique : $\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a}$

L’expression de l’accélération pour un mouvement circulaire a été déterminée au Chapitre 2. Le principe fondamental de la dynamique conduit donc à un système d’équations :

\[\begin{split}\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} & m\ell \left( \displaystyle{\frac{d \varphi}{dt}} \right)^2 = - mg\cos \varphi + T \\ & m\ell \displaystyle{\frac{d^2 \varphi}{ d t^2}} = -mg\sin \varphi \ . \end{cases}\end{split}\]

La tension du fil intervient uniquement dans la première équation. Concentrons-nous plutôt sur la seconde équation, que l’on peut réécrire sous la forme : $d^2 \varphi / d t^2 + \omega_0^2 \sin \varphi (t) = 0$, avec $\omega _0=\sqrt{g/\ell}$. Pour des angles « pas trop grands », on peut remplacer la fonction sinus par l’équation de sa tangente au voisinage de 0 : $\sin x \simeq x$ (où $x$ est exprimé en radians) [1]. On obtient alors :

(42)\[\frac{d^2 \varphi}{ d t^2} + \omega_0^2 \varphi (t) = 0\]

On reconnaît ici l’équation d’un oscillateur harmonique. Si l’on suppose que le pendule est lâché de l’angle $\varphi_0$ sans vitesse initiale, on peut vérifier que la solution est donnée par :

(43)\[\varphi(t) = \varphi_0 \cos \omega_0 t \ .\]

La période des oscillations du pendule est donc :

\[T= 2\pi \sqrt{\ell/g} \ .\]

Nous avons ainsi déterminé le préfacteur de la loi obtenue au Chapitre 1 par analyse dimensionnelle.

Forces de frottement

Les notions de travail et d’énergie ne seront abordées qu’au Chapitre 6. Nous pouvons néanmoins anticiper la discussion en notant que les forces rencontrées jusqu’à présent sont telles que l’énergie est conservée. Or, dans la plupart des situations réelles, l’énergie est dissipée par des forces de frottement, qui s’opposent au mouvement et diminuent l’énergie.

Loi du frottement solide

Reprenons tout d’abord la situation décrite sur la Fig. 14 (b): un corps, assimilé à un point matériel de masse $m$, se déplace le long d’une surface solide. Outre la composante normale $\vec{R}_n$, la force de réaction comporte généralement une composante parallèle au support : il s’agit de la force de frottement solide, que l’on note $\vec{R}_t$, et dont les caractéristiques sont les suivantes :

direction : parallèle au support.
sens : opposé à la vitesse.
norme : son intensité $R_t = \Vert \vec{R}_t \Vert$ est déterminée par la loi de Coulomb :

(44)\[R_t = \mu R_n\]

où $\mu$ est le coefficient de frottement dynamique. Il s’agit d’un coefficient phénoménologique, sans dimension, dont la valeur est généralement comprise entre 0 (glissement parfait) et quelques unités (surface très rugueuse).

Cette force trouve son origine microscopique dans la dissipation d’énergie au niveau des contacts entre le corps et la surface. La science qui étudie les frottements solides s’appelle la tribologie.

Forces de frottement fluide

Au Chapitre 3, nous avons étudié la chute libre d’un point matériel soumis uniquement à son poids. Lorsque le corps se déplace non pas dans le vide mais dans un fluide, l’eau ou l’air par exemple, le milieu exerce une force de frottement $\vec{f}$ qui s’oppose au mouvement. Cette force peut s’écrire sous la forme générale :

\[\vec{f} = -k \vec{v}\]

où $k$ est le coefficient de friction. Celui-ci dépend de la forme de l’objet, de sa vitesse, ainsi que des propriétés du fluide : sa masse volumique $\rho$ et sa viscosité $\eta$.

Le déplacement d’un objet dans un fluide visqueux est en effet entravé par 2 phénomènes:

la viscosité: c’est à dire les interactions, les collisions ou les associations moléculaires entre le fluide et l’objet qui s’y déplace
l’inertie du fluide: pour se déplacer, l’objet doit aussi déplacer le fluide sur son passage. Comme le fluide à une masse (inerte), une force inertielle va s’opposer et entraver le déplacement de l’objet.

La viscosité est le paramètre physique qui caractérise la dissipation d’énergie dans un fluide. Sa dimension est : $[ \eta ] = M\cdot L^{-1} \cdot T^{-1}$. Elle s’exprime dans le système international en $\text{Pa} \cdot \text{s}$. Les valeurs de $\rho$ et $\eta$ à température ambiante ($20^{\circ}\text{C}$) sont données dans la tableau ci-dessous pour quelques fluides usuels.

La viscosité est une propriété physique qui caractérise un fluide, et comment ses molécules entravent le déplacement d’un objet par des interactions, des collisions ou des associations moléculaires.

Tableau 5 Masses d’objets typiques
Fluide	Masse Volumique	Viscosité
	$kg \cdot m^{-3}$	($\times 10^{-3} \text{Pa} \cdot \text{s}$)
Air	1.2	0.018
Eau	1000	1
Huile d’olive	900	100
Miel	1400	1000 à 10000

Le coefficient de friction s’obtient en résolvant les équations de la mécanique des fluides. Il s’agit d’un problème extrêmement complexe, qui constitue l’un des problèmes du millénaire identifiés par le Clay Institute of Mathematics, et doté d’un prix de $1.000.000$ $. Dans ce cours, nous suivons une approche plus pragmatique en procédant par analyse dimensionnelle.

On peut distinguer 2 régimes particuliers où l’un ou l’autre de ces 2 phénomènes dominent tandis que l’autre est négligeable:

le régime visqueux: quand l’opposition au mouvement de l’objet dans le fluide est dûe essentiellement à la viscosité, et l’inertie du fluide est négligeable
le régime inertiel: quand l’opposition au mouvement de l’objet dans le fluide est dûe essentiellement à l’inertie liée au déplacement du fluide sur le passage de l’objet, et la viscosité est négligeable

Régime visqueux

De manière générale, le coefficient de friction dépend des paramètres suivants :

la dimension $a$ et la vitesse $v=\Vert \vec{v} \Vert$ de l’objet.
la viscosité $\eta$ et la masse volumique $\rho$ du fluide.

Supposons dans un premier temps que les effets inertiels soient négligeables ($\rho \simeq 0)$. On cherche donc à exprimer le coefficient de friction sous la forme : $k=C\eta^{\alpha} a^{\beta} v^{\gamma}$, ou $C$ est une constante numérique sans dimension. Pour déterminer les exposants $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, on écrit l’équation aux dimensions :

\[[k] =\frac{[f]}{[v]}=[\eta]^{\alpha} \cdot [a]^{\beta} \cdot [v]^{\gamma}\]

En procédant par identification, on obtient $\alpha=\beta=1$ et $\gamma=0$. Le coefficient de friction est donc indépendant de la vitesse. En outre, un calcul de mécanique des fluides donne $C=6 \pi$ pour une sphère de rayon $a$. Le coefficient de friction pour une sphère est donc :

(45)\[\boxed{k_v = 6 \pi \eta a \ .}\]

Régime inertiel

Nous considérons maintenant la limite opposée où les effets visqueux sont négligeables ($\eta \simeq 0)$ et les effets inertiels dominent. Ces effets inertiels correspondent à l’énergie nécessaire pour déplacer le volume de fluide lors du mouvement. Dans ce cas, on cherche $k$ sous la forme : $k=C' \rho^{\alpha'} a^{\beta'} v^{\gamma\, '}$. En procédant de la même façon, on trouve : $\alpha'=\gamma\, '=1$ et $\beta'=2$. On obtient donc dans le régime inertiel :

(46)\[\boxed{k_i = \frac{C_x}{2} S \rho v \ ,}\]

où $S$ est la surface de référence ($S=\pi a^2$ pour une sphère), et $C_x$ est le coefficient de traînée.

Transition entre les deux régimes

Déterminons pour quelle valeur des paramètres les deux forces sont égales. Omettant les constantes numériques, on peut écrire :

\[f_v \simeq f_i \quad \Rightarrow \quad \eta a \simeq \rho a^2 v \quad \Rightarrow \quad \frac{\rho v a}{\eta} \simeq 1 \ .\]

Cette relation définit un nombre sans dimension, appelé nombre de Reynolds :

\[\text{Re} = \frac{\rho v a}{\eta} \ .\]

Le nombre de Reynolds nous donne un critère quantitatif pour déterminer dans quel régime se déroule le mouvement en fonction de la vitesse :

à faible vitesse ($\text{Re} \ll 1$), les effets visqueux sont dominants et le coefficient de friction est donné par l’équation (45)).
à grande vitesse ($\text{Re} \gg 1$), ce sont les effets inertiels qui dominent et le coefficient de friction est donné par l’équation (46)).

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