On attribue au physicien américain J.
Wheeler (1911–2008) la
citation suivante :
On ne devrait jamais faire de calcul sans en connaître le résultat au préalable.
—J. Wheeler
Cette affirmation peut sembler paradoxale. Elle signifie néanmoins qu’il
est toujours préférable de déterminer une solution qualitative à un
problème de physique avant de se lancer dans des calculs compliqués.
Nous allons voir que l’analyse dimensionnelle permet, dans certains
cas, de « deviner » la forme générale d’une formule reliant différents
paramètres, indépendamment des lois ou des principes qui les gouvernent.
Dans ce chapitre, nous commençons par introduire les grandeurs physiques
fondamentales du système international d’unités. Nous présentons ensuite
le concept d’analyse dimensionnelle, qui est mis en application sur
l’exemple des oscillations d’un pendule.
Le système international d’unités (noté SI en abrégé) comporte 7
unités de base destinées à mesurer les grandeurs physiques
fondamentales. Elles sont répertoriées dans le tableau suivant :
Grandeur
Unité
Symbole unité
Symbole dimension
Masse
kilogramme
kg
M
Longueur
mètre
m
L
Temps
seconde
s
T
Température
kelvin
K
\(\Theta\)
Quantité de matière
mole
mol
N
Intensité électrique
ampère
A
I
Intensité lumineuse
candela
cd
J
Attention
Notez bien la différence entre dimensions et unités. Si je vous dis que je mesure 80kg et que je pèse 1.90m, cela vous choque, car les unités ne correspondent pas aux dimensions des grandeurs que j’invoque. Prenons un autre exemple avec le cas de la longueur.
La longueur est la dimension. Elle peut être exprimée dans de nombreuses unités: m, mm, pieds, pouces, lieues, angström… Dans une même formule, on peut sans problème ajouter des grandeurs exprimées en mètres et en pieds, pourvu que l’on prenne en compte la conversion entre ses unités.
Par exemple:
1m + 1 pouce = 102.54 cm
car:
1m = 100 cm
1 pouce = 2.54 cm
Par contre on ne peut pas ajouter des mètres et des secondes, ou des mètres et des kilogrammes…
Un peu d’Histoire…
C’est pour faciliter les échanges et communications que les scientifiques ont défini le système international d’unité, noté S.I., qui préconise l’utilisation de certaines unités. Le mètre et le kg en font partie. Certains pays n’ont pas adhéré à ce système, et utilisent d’autres unités (par exemple les pieds ou les pouces aux USA) tant et si bien qu’on trouve toujours certaines exceptions dans la vie courante (par exemple la taille des écrans est en général donnée en pouces plutôt qu’en centimètres, les marins utilisent plutôt les miles pour les distances et les noeuds pour les vitesses, la température est souvent en Celsius au lieu de Kelvin, etc…)
La confusion entre unités du système métrique et du système anglo-saxon fut à l’origine du crash de la sonde martienne de la NASA Mars Climate Orbiter en 1998.
En effet, les valeurs communiquées pour le freinage de la sonde par la firme Lockheed étaient exprimées en pieds, unités encore couramment utilisée dans les pays anglo-saxons, alors que les ingénieurs de la NASA pensaient avoir des données exprimées dans le système international (donc en mètres).
La mise en orbite se fit beaucoup trop proche de la planète et le satellite s’écrasa…
Fig. 1 Cartoon publié dans un journal pour se moquer des problèmes de communication entre la NASA et Lockheed (source: Slideplayer.com )
La dimension d’une grandeur physique \(A\) se note entre
crochets : l’expression \([A]=\Theta \cdot T^{-1}\) signifie par
exemple que \(A\) est homogène à une température divisée par un
temps. L’unité SI de \(A\) est donc le
\(\text{K}\cdot \text{s}^{-1}\).
Lorsqu’on effectue des calculs avec des grandeurs physiques, les
opérations portent aussi bien sur les variables que sur les dimensions.
On appliquera les règles suivantes :
la dimension de la somme (ou la différence) de deux grandeurs
physiques \(A\) et \(B\) est égale à la dimension de
\(A\) (et de \(B\)) :
\[[A+B] = [A] = [B] \ .\]
Ceci implique en particulier qu’on ne peut additionner (ou
soustraire) que des grandeurs physiques ayant la même dimension.
la dimension du produit de deux grandeurs physiques \(A\) et
\(B\) est égale au produit des dimensions de \(A\) et
\(B\) :
\[[A \times B] = [A] \times [B] \ .\]
la dimension du quotient de deux grandeurs physiques \(A\) et
\(B\) est égale au quotient des dimensions de \(A\) et
\(B\) :
l’argument \(x\) d’une fonction mathématique (\(\sin x\),
\(\cos x\), \(\exp x\), \(\ln x\), …) est toujours sans
dimension (à l’exception néanmoins des fonctions puissances :
\([x^{\alpha}]=[x]^{\alpha}\)).
les constantes numériques (\(\pi\), \(\sqrt{3}\), …) sont
sans dimension : \([C]=1\).
Rappels
L’analyse dimensionnelle repose sur les propriétés des puissances,
dont nous rappelons ici les principales règles de calcul. Pour tout
\(x \neq 0\), on a :
En appliquant les règles énoncées précédemment, il est possible de
construire des unités dérivées à partir des unités de base du SI.
Prenons par exemple la vitesse, qui est définie comme la dérivée de la
position par rapport au temps : \(v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\). La vitesse a donc
pour dimension :
\[[v] =\frac{[x]}{[t]}=L\cdot T^{-1} \ .\]
L’exemple ci-dessus se lit : « La dimension de \(v\) est égale à une
longueur divisée par un temps ». L’unité SI de vitesse est donc le
\(\text{m}\cdot \text{s}^{-1}\). De la même façon, l’accélération
est définie comme la dérivée de la vitesse par rapport au
temps : \(a= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\). Sa dimension est donc :
L’accélération est donc homogène au rapport d’une longueur et d’un temps
au carré. L’unité SI correspondante est le
\(\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\).
Parmi toutes les unités dérivées que l’on peut construire à partir des
unités de base, on se concentrera cette année sur les grandeurs
suivantes :
l’énergie, dont l’unité SI est le joule (J). Dimension :
\([E]=M \cdot L^2\cdot T^{-2}\)
la force, dont l’unité SI est le newton (N). Dimension :
\([F]=M \cdot L\cdot T^{-2}\)
la pression, dont l’unité SI est le pascal (Pa). Dimension :
\([P]=M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}\)
la charge électrique, dont l’unité SI est le coulomb (C). Dimension :
\([Q]=I \cdot T\)
Notons enfin que certaines grandeurs sans dimension peuvent néanmoins
avoir une unité : c’est par exemple le cas des angles, qui s’expriment
en degrés ou en radians. D’autres systèmes d’unités peuvent également
cohabiter avec le système international. Ainsi, les distances sont
exprimées en pouces (1 pouce \(\simeq\) 2,54 cm) et en miles (1 mile
\(\simeq\) 1,609 km) dans les pays anglo-saxons, ou en unités
astronomiques (1 u.a. \(\simeq~150 \times 10^6\) km) pour les
distances interplanétaires. Il en est de même des températures, qui
peuvent s’exprimer en degrés Celsius ou Farenheit plutôt qu’en kelvin.
Contrairement aux variables mathématiques, les grandeurs physiques ont
une dimension. Cette affirmation d’apparence anodine a des conséquences
importantes : en physique, une formule doit toujours être homogène,
c’est-à-dire que les deux membres d’une égalité doivent avoir la même
dimension. Appliquons par exemple le principe fondamental de la
dynamique (dont l’étude fera l’objet du Chapitre 3) à un corps de masse
\(m\) soumis à la force \(\vec{F}\) :
\[\vec{F} = m \vec{a} \ .\]
À partir de cette relation, nous pouvons directement établir que
l’intensité \(F=\Vert \vec{F} \Vert\) de la force a la dimension
d’une masse multipliée par une accélération :
\[[F] = [m] \times [a] = M \times \frac{L}{T^2} = M\cdot L \cdot T^{-2} \ .\]
En ce qui concerne les unités, on peut encore écrire :
Application 1.1: L’énergie cinétique d’un objet de masse \(m\) se déplaçant à la vitesse \(v\) est donnée par : \(E_c=\frac{1}{2}mv^2\). En déduire le lien entre le joule et les unités de base du SI.
L’énergie cinétique \(E_c\) a pour unité le joule \(J\).
La masse \(m\) a pour unité SI le kilogramme \(kg\)
La vitesse \(v\) a pour unité SI le mètre par seconde \(m s^{-1}\)
Donc comme \(E_c=\frac{1}{2}mv^2\) on peut écrire: \(J = kg \cdot (m s^{-1})^2 = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}\)
Le raisonnement inverse nous permet également de mieux appréhender
certaines relations entre grandeurs physiques. Considérons par exemple
la puissance \(\cal{P}\), dont la dimension est :
\[[{\cal{P}}]=M\cdot L^{2}\cdot T^{-3} \ .\]
Or si l’on compare à la dimension de l’énergie,
\([E]=M \cdot L^2\cdot T^{-2}\), nous pouvons encore écrire :
\[[{\cal{P}}] = [E] \cdot T^{-1} \ .\]
La puissance est donc une énergie par unité de temps : cela signifie par
exemple qu’une ampoule de 10 W consomme une énergie de 10 joules chaque
seconde. Nous avons ainsi établi une relation entre puissance et énergie
à partir d’un raisonnement se basant uniquement sur les dimensions.
Application 1.2: La pression a pour dimension: \([P]=M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}\). En comparant les dimensions, donner une relation a) entre pression et force, puis b) entre pression et énergie.
a) Relation entre Pression et Force:
Dimension de la pression: \([P]=M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}\)
Dimension d’une force: \([F]=M \cdot L \cdot T^{-2}\)
Donc on peut déduire:
\[\boxed{[P]=\frac{[F]}{L^2}}\]
Une pression est donc une force par unité de surface (comme nous le reverrons en détail dans les Chap. 7 & 8)
b) Relation entre Pression et Énergie:
Comme vu précédemment, la dimension d’une énergie est: \([E]=M \cdot L^2 \cdot T^{-2}\)
donc:
\[\boxed{[P]=\frac{[E]}{L^3}}\]
Une pression est donc aussi une énergie par unité de volume.
Pour finir, on retiendra qu’il est impératif de vérifier
l’homogénéité d’une formule à la fin d’un calcul. Cette étape est
cruciale car elle permet de repérer rapidement d’éventuelles erreurs :
si les deux membres d’une équation ont des dimensions différentes, le
résultat est nécessairement faux.
Attention
Si les dimensions sont identiques, alors l’équation a une chance d’être
juste, mais l’homogénéité dimensionnelle ne garantie pas la justesse d’une
formule! Elle permet uniquement de s’assurer que l’on compare des
grandeurs ayant la même dimension, autrement dit, qu’on ne compare pas
des pommes et des oranges.
Application 1.3. Dans une copie d’examen, un étudiant obtient l’expression de l’énergie: \(E= \frac{4 \pi}{3}\rho R^3 g H^2\), avec \(R\) le rayon d’un l’objet, \(H\) une hauteur, \(g\) l’accélération de la pesanteur et \(\rho\) la masse volumique. Le résultat vous semble-t-il correct?
Exprimons la dimension de l’énergie suivant la formule de l’étudiant:
L’analyse dimensionnelle est une méthode simple mais extrêmement
efficace pour prédire des relations entre différentes grandeurs
physiques. Surtout, elle permet d’établir des relations entre
différentes grandeurs sans avoir besoin de connaître a priori les lois
physiques sous-jacentes.
Pour aller plus loin: analyse dimensionnelle et méthode scientifique
L’analyse dimensionnelle est donc une manière très puissante de « guider » la recherche de nouvelle théorie fondamentale, et tout l’art du physicien sera d’adopter les paramètres pertinents à la résolution de l’analyse dimensionnelle. Ce choix sera bien évidemment fortement guider par l’expérience.
Contrairement à la méthode scientifique, qui elle a pour objectif de fournir une description formelle de la nature à partir des grands principes de la Physique, l’analyse dimensionelle a pour objectif de de deviner des lois, indépendamment des principes de la Physique. Elle nous permettra par exemple de deviner la relation entre la période du pendule et la longueur de la corde, ou de déterminer la relation entre la masse, le rayon de l’orbite et la période des planètes, sans pour autant expliquer l’origine de ces relations puisqu’elle ne fournit pas le cadre théorique qui permet de comprendre et expliquer ces phénomènes.
Fig. 2 La méthode scientifique fournit et valide une théorie complète (Adapté de: Wikimedia)
Fig. 3 L’analyse dimensionelle devine des lois directement depuis les observations
Les étapes du raisonnement de l’analyse dimensionnelle sont les suivantes :
étape 1 : modélisation. On identifie les paramètres physiques
importants.
étape 2 : analyse dimensionnelle. On compare les dimensions des
différents paramètres.
étape 3 : expérimentation. On vérifie la validité de la loi obtenue.
Considérons par exemple les oscillations d’un pendule, qui est constitué
d’une masse \(m\) suspendue à l’extrémité d’une corde de
longueur \(\ell\) (voir la Fig. 4). On souhaite déterminer
l’influence des différents paramètres physiques sur la période
\(T_p\) des oscillations, sans écrire ni résoudre les équations de
la mécanique.
Fig. 4 Reconstitution de l’expérience réalisée par Léon Foucault (1819–1868) au Panthéon en 1851. Le pendule original est constitué d’une masse \(m\) = 28 kg accrochée à l’extrémité d’un câble de longueur \(l\) = 67 m. La période du pendule est \(T_{P}\) = 16,5 s. Ce dispositif permit à Foucault de mettre en évidence les forces d’inertie qui résultent de la rotation de la Terre.
La première étape du raisonnement consiste à énumérer les différents
paramètres physiques qui entrent en jeu. Dans le cas du pendule, ces
paramètres pertinents sont :
la longueur \(\ell\) de la corde.
la masse \(m\) du pendule.
l’accélération de la pesanteur \(g\).
Selon le degré de finesse de l’analyse, d’autres effets physiques
pourraient également être considérés (amortissement du mouvement dû aux
frottements, effet de la rotation de la Terre, …). Nous négligeons ici
ces contributions, qui pourraient faire l’objet d’une analyse plus
approfondie.
On a donc supposé que la période d’oscillation \(T_p\) dépend des trois paramètres :
\(\ell\), \(m\) et \(g\). Les dimensions des grandeurs
physiques sont les suivantes :
En comparant les puissances des différentes grandeurs, on arrive à un
système d’équations dont la résolution permet d’obtenir la valeur des
exposants :
Finalement, on en déduit la relation :
\(T_p=C \times m^{0} \times \ell^{\frac{1}{2}} \times g^{-\frac{1}{2}}\),
ce qui s’exprime encore sous la forme plus habituelle :
L’analyse dimensionnelle nous a donc permis de montrer que la période
des oscillations est indépendante de la masse du pendule :
\(T_p \propto m^0\). Ce résultat n’était pas évident a priori. On
note également que la période du pendule augmente comme la racine carrée
de la longueur : \(T_p \propto \sqrt{\ell}\). Autrement dit, pour
doubler la période du pendule, il faut multiplier sa longueur par 4.
Toutefois, l’analyse dimensionnelle ne permet pas de déterminer la
valeur de la constante numérique \(C\). Pour cela, il est nécessaire
de résoudre les équations du mouvement, comme nous le verrons dans la
suite du cours.
Application 1.4. Évaluer la constante numérique \(C\) dans le cas du pendule de Foucault présenté sur la Fig. 4. On prendra : \(g=9,8~\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\). Comparer à la valeur théorique : \(C = 2 \pi\).
On a:
\[T_{P} = 16.5 = C \sqrt{\frac{\ell}{g}} = C \sqrt{\frac{67}{9.8}}\]
À partir de l’analyse précédente, nous avons établi la seule combinaison
des paramètres \(m\), \(g\) et \(\ell\) qui ait la dimension
d’un temps. Pour être complet, il nous resterait encore à vérifier
expérimentalement la loi (2). Cette étape
est illustrée par exemple dans la vidéo suivante.
L’expérience du pendule
Observations:
Plus le pendule est long, plus sa période est grande. Si la longueur est multipliée par 4, la période est multipliée par 2.
A longueur de corde égale, la masse m n’intervient pas sur la période
si on pouvait aller sur la Lune, où l’accélération de la pesanteur est 6 fois plus faible, on constaterait que la période est \(\sqrt{6}\) fois plus longue.
Applications
Le Metronome
Le métronome était à l’origine un simple pendule dont on pouvait régler la longueur pour obtenir le tempo (période) désiré.
Il s’est ensuite complexifié, notamment avec un mouvement d’horlogerie qui permet de maintenir l’entrainement plus longtemps, pour devenir numérique plus récemment.
La science au service de l’art: l’onde du pendule
Dans cette vidéo des artistes et scientifiques ont utilisé des pendules de longueurs différentes pour créer cette oeuvre illustrant la dépendence de la période avec la longueur du pendule.
En général, les lois de la physique font intervenir des constantes
fondamentales telles que la vitesse de la lumière ou la charge de
l’électron. Historiquement, ces constantes ont d’abord été introduites
pour rétablir l’homogénéité des équations nouvellement établies, avant
d’être déterminées de façon expérimentale dans un deuxième temps. Depuis
2019, cette logique a été inversée et la valeur des constantes
fondamentales a été fixée par convention. Ceci a eu pour effet de
redéfinir les unités du système international à partir de ces valeurs.
Les constantes que nous verrons dans le cadre de ce cours de physique
sont répertoriées dans le tableau suivant :
Dans un raisonnement d’analyse dimensionnelle, les constantes
fondamentales sont traitées de la même façon que les autres grandeurs
physiques.
Application 1.5. En 1905, Albert Einstein établit une relation entre masse et énergie : \(E=mc^{\alpha}\), où \(c\) est la célérité de la lumière. Déterminer la valeur de l’exposant \(\alpha\).
Commençons par rappeler la dimension d’une énergie. Pour cela, on peut se rappeler la formule de l’énergie cinétique: \(E=\frac{1}{2}m v^2\) et donc \([E]=[m][v^2]=M \cdot L^2 \cdot T^{-2}\).
Écrivons alors l’équation au dimension pour la formule d’Einstein:
Par identification des termes on obtient immédiatement que \(\alpha=2\) et on retrouve la célèbre formule \(E=m c^2\)
Il existe également d’autres constantes fondamentales, mais dont la
valeur n’est connue que de façon approchée. C’est par exemple le cas de
la constante gravitationnelle \(\mathcal{G}\) :
