5. La gravitation

Pour l’application numérique, exprimons $\omega$ en unité standard, c’est à dire en radian par seconde. Comme 1 tour vaut $2\pi$ radians et 1min=60s, on a $\omega =\frac{20\times 2\pi }{60}\approx 2.1rad/s^{-1}$.

L’accélération vaut donc:

$$a=R{\omega }^2=18\times (2.1{)}^2\approx 79.4m\cdot .s^{-2}$$

Comme $g\approx 9,81\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$, on peut donc déduire que:

$$a=\frac{79.4}{9.81}\approx 8.1g$$

Une personne sans entrainement peut supporter en moyenne autour de 5 g. Avec de l’entraînement et des combinaisons spéciales « anti-g », les pilotes de chasse ou les astronautes peuvent supporter jusqu’à environ 9 g.

Pour en savoir plus…

Question 1:

Nous avons vu en cours que:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}g& =\mathcal{G}\frac{m_M}{R_M^2}\\ & =6.67\times {10}^{-11}\frac{6.4\times {10}^{23}}{{3400000}^2}\\ & =3.7{\text{m.s}}^{-2}\end{array}\end{array}$$

Question 2:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{P}_T& =m_T\times g_T=9.81\times 70=686.7N\\ P_M& =m_M\times g_M=3.7\times 70=259.0N\end{array}\end{array}$$

Question 1.

Nous avons vu en cours que $\mathcal{G}$ s’exprime en $m^{3}k{g}^{-1}{s}^{-2}$.

Question 2.

On écrit l’équation aux dimensions:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}[T_p]& =[R_p^{\alpha }][m^{\beta }][{\mathcal{G}}^{\gamma }]\\ T& =L^{\alpha }{M}^{\beta }(L^3{M}^{-1}{T}^{-2}{)}^{\gamma }\\ T& =L^{\alpha }{M}^{\beta }{L}^{3\gamma }{M}^{-\gamma }{T}^{-2\gamma }\\ T^1& =L^{\alpha +3\gamma }{M}^{\beta -\gamma }{T}^{-2\gamma }\end{array}\end{array}$$

En identifiant terme à terme on obtient:

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}0=\alpha +3\gamma \\ 0=\beta -\gamma \\ 1=-2\gamma \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =\frac{3}{2}\\ \beta =-\frac{1}{2}\\ \gamma =-\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$$

Soit finalement:

$\boxed{{\displaystyle T_p=C{R}_p^{\frac{3}{2}}{m}^{-\frac{1}{2}}{\mathcal{G}}^{-\frac{1}{2}}}}$

ce qui s’écrit aussi:

$\boxed{{\displaystyle T_p=C\sqrt{\frac{R^3}{\mathcal{G}m}}}}$

Question 3.

D’après la loi de Kepler, le rapport $\frac{T^2}{R^3}$ est constant pour toutes les planètes du système solaire.

On peut donc écrire en particulier:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}\frac{T_T^2}{R_T^3}& =\frac{T_V^2}{R_V^3}\\ \iff R_V^3& =\frac{T_V^2\times R_T^3}{T_T^2}\\ \iff R_V& =\sqrt[3]{\frac{T_V^2\times R_T^3}{T_T^2}}\end{array}\end{array}$$

A.N.: $R_V=\sqrt[3]{\frac{{225}^2\times (150\times {10}^6{)}^3}{{365}^2}}=108\times {10}^6$ km

Question 1:

Dans ce problème nous connaissons la période du satellite et on veut connaitre le rayon de son orbite. C’est bien sûr la troisème loi de Kepler qui donne la relation entre la période d’un satellite et le rayon de son orbite:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{T}^2=\frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}{m}_T}{R}^3\\ \Rightarrow R=(\frac{\mathcal{G}{m}_T{T}^2}{4{\pi }^2}{)}^{1/3}\end{array}\end{array}$$

avec $T=23h56m04s=23\times 3600+56\times 60\ast 4=86164s$

Application numérique:

$$\begin{array}{rl}R& =(\frac{6.67\times {10}^{-11}\times 5.97\times {10}^{24}\times {86164}^2}{4{\pi }^2}{)}^{1/3}\\ & =4.215\times {10}^{7}m\\ & =42150km\end{array}$$

Ceci est la distance au centre de la Terre. Comme le rayon de la Terre vaut 6371km, l’orbite géostationnaire se trouve à une altitude de:

$$\boxed{{\displaystyle h=42150-6371=35779km}}$$

Question 2:

La vitesse s’obtient en divisant le périmètre de l’orbite ($2\pi R$) par la durée de l’orbite:

$$v=\frac{2\pi R}{T}=\frac{2\pi \times 42150}{86164}=3.07\text{km/s}$$

Les lois de Kepler que nous avons vu en cours imposent qu’un corps (satellite, astéroïde, …) ne peut pas se trouver sur une orbite différente de celle de la Terre par exemple, et avoir la même période de rotation de 1 an.

Joseph-Louis de Lagrange (1736 − 1813) a prouvé que ce n’est pas tout à fait exact et que dans le cas particulier ou l’on considère un corps de masse négligeable soumis à l’attraction gravitationnelle de deux corps beaucoup plus massifs il existe des points privilégiés, appelés points de Lagrange où cet objet peut rester fixe par rapport aux deux autres objets.

Question 1.

Bilan des forces:

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{T\to L_1}=\mathcal{G}\frac{m{m}_T}{d^2}{\overrightarrow{e}}_x\\ {\overrightarrow{F}}_{S\to L_1}=-\mathcal{G}\frac{M_S}{(D-d{)}^2}{\overrightarrow{e}}_x\end{array}\end{array}$$

Question 2.

À l’équilibre, on a $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ et donc la somme des forces est nulle:

$$\begin{array}{r}{\overrightarrow{F}}_{T\to L_1}+{\overrightarrow{F}}_{S\to L_1}=\overrightarrow{0}\\ \iff \mathcal{G}\frac{m{m}_T}{d^2}=\mathcal{G}\frac{m{M}_S}{(D-d{)}^2}\end{array}$$

et donc:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{m_T}{d^2}=\frac{M_S}{(D-d{)}^2}}}$$

Question 3.

On suppose que $m_T\ll M_S$ et que $d\ll D$, et donc on a $\frac{m_T}{d^2}\approx \frac{M_S}{D^2}$, d’où:

$$\boxed{{\displaystyle d=D\sqrt{\frac{m_T}{M_S}}}}$$

Question 4.

A.N.: $m_T=6\times {10}^{24}kg;M_S=2\times {10}^{30}kg;D=1.5\times {10}^{11}m\Rightarrow d=2.6\times {10}^{8}m$

donc l’approximation $d\ll D$ était bien justifiée.

Question 5.

Un objet de masse négligeable placé entre le Soleil et la Terre subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre (car il est plus proche du Soleil que ne l’est la Terre), et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l’objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point $L_1$, la vitesse angulaire de l’objet devient exactement égale à celle de la Terre. Aux points $L_2$, le principe est similaire mais de l’autre côté de la Terre. L’objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l’accélérer. À un certain point, le point $L_2$, l’objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil. De la même manière, il existe un point situé un peu plus loin que l’opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

Observer l’Univers depuis les points de Lagrange

Lorsqu’un satellite est à un point de Lagrange, les positions relatives des trois corps (satellite, Terre et Soleil) sont fixes. Ainsi un satellite terrestre placé sur l’un de ces points n’en bouge plus et tourne de concert, de manière fixe, avec la Terre autour du Soleil.

Les points de Lagrange: les satellites artificiels et l’observation de l’Univers

Le point $L_1$ est situé entre la Terre et le Soleil, et est donc idéal pour observer le Soleil. C’est au point $L_1$ situé à 1.5 million de km de la Terre que se trouve le satellite d’observation solaire, SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) depuis 1995. Le point $L_2$ est situé dans la direction opposée au Soleil. Il est donc l’endroit idéal pour placer un satellite d’observation du ciel profond, puisqu’il pourra en même temps garder ses panneaux solaires tournés vers le Soleil et pointer son télescope vers l’extérieur du système solaire. Pour cette raison de nombreux satellites d’observation astronomique ont été placés ou sont actuellement au point $L_2$.

La Table ci-dessous donne le nom des quelques-uns des satellites qui occupent ou ont occupé les points de Lagrange L1 et L2:

Tableau 6 Exemples de satellites aux points de Lagrange

Satellite	Date de lancement	L1	L2
WIND	1994	✓
SOHO	1995	✓
WMAP	2001		✓
GENESIS	2001	✓
PLANCK	2009		✓
HERSCHEL	2009		✓
GAIA	2013		✓
JWST	2021		✓
EUCLID	2023		✓

Les satellites naturels aux points de Lagranges: la Troyens

Parfois des astéroides passent proches d’un point de Lagrange et s’y « installent », orbitant autour du point de Lagrange et suivant la planète correspondante sur son orbite autour du Soleil. On appelle ce type d’objets des satellites troyens.

Jupiter, la planète la plus massive du système solaire, possède des milliers de satellites troyens. L’animation ci-dessous illustrent leurs orbites

La sonde spatiale Lucy a été lancée en 2021 pour aller étudier les troyens de Jupiter.

Mais la Terre elle aussi possède ce genre de satellite! On en connait actuellement deux: en 2017, les astronomes on découvert un astéroide au point $L_4$ du système Terre-Soleil: l’astéroide 2010 TK7. En 2021, ils découvraient un autre asteroide, 2020 XL5, qui orbite autour du point $L_5$. En 2024, les astronomes ont découvert un petit astéroide appelé 2024 PT5 qui orbitera autour de la Terre pendant a peu près 2 mois.