Afin de préparer leurs missions, les astronautes s’entraînent à résister à des accélération extrêmes
dans de grandes centrifugeuses, comme celle du centre de recherche de la NASA présentée sur la
Fig. 9. La distance entre l’axe de rotation et le siège où s’installe l’astronaute est R= 18 m.
Le système est mis en rotation à la vitesse angulaire ω = 20 tours/min.
Étant donné la relation a = Rω², calculer l’accélération subie par l’astronaute. On exprimera le
résultat en « nombre de g », où g ≃9, 8 m/s².
Pour l’application numérique, exprimons \(\omega\) en unité standard, c’est à dire en radian par seconde. Comme 1 tour vaut \(2\pi\) radians et 1min=60s, on a \(\omega=\frac{20\times2\pi}{60}\approx 2.1 rad/s^{-1}\).
Comme \(g\approx 9,81~\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\), on peut donc déduire que:
\[a=\frac{79.4}{9.81}\approx 8.1 g\]
Pour aller plus loin
Une personne sans entrainement peut supporter en moyenne autour de 5 g. Avec de l’entraînement et des combinaisons spéciales « anti-g », les pilotes de chasse ou les astronautes peuvent supporter jusqu’à environ 9 g.
5.3 Troisième loi de Kepler (\(\ast \ast\) - 20∼30min)
Une planète décrit une orbite circulaire autour d’une étoile de masse
\(m\). On souhaite déterminer la relation entre la période
\(T_p\) du mouvement et le rayon \(R_p\) de l’orbite. Pour cela,
on procède par analyse dimensionnelle.
Quelle est l’unité de la constante gravitationnelle \(\mathcal{G}\) dans le système international ?
On suppose qu’il existe une relation de la forme : \(T_p=C\, R_p^{\alpha}\, m^{\beta}\, \mathcal{G}^{\gamma}\), où \(C\) est une constante numérique sans dimension. Déterminer la valeur des exposants \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).
Vénus est la deuxième planète du système solaire. La période de son orbite est \(T_V\simeq 225\) jours. Étant donné la période (\(T_T\simeq 365\) jours) et le rayon (\(R_T\simeq 150 \times 10^6\) km) de l’orbite terrestre, calculer la rayon \(R_V\) de l’orbite de Vénus.
Solution
Question 1.
Nous avons vu en cours que \(\mathcal{G}\) s’exprime en \(m^3 kg^{−1} s^{−2}\).
L’orbite géostationnaire est une orbite circulaire de période égale à la
période de rotation de la Terre (\(T\simeq 24\) h). On donne :
\(m_T \simeq 6 \times 10^{24}\) kg et \(R_T \simeq 6\, 400\) km.
Calculer l’altitude de l’orbite géostationnaire.
Déterminer la vitesse d’un satellite en orbite géostationnaire.
Solution
Question 1:
Dans ce problème nous connaissons la période du satellite et on veut connaitre le rayon de son orbite. C’est bien sûr la troisème loi de Kepler qui donne la relation entre la période d’un satellite et le rayon de son orbite:
5.5 Points de Lagrange (\(\ast \ast \ast\) - 20∼30min)
On considère un satellite de masse \(m\) situé sur l’axe
Terre-Soleil — voir la Fig. 43. On souhaite
déterminer les positions où les forces qui s’exercent sur le satellite
se compensent. On note \(d\) la distance Terre-satellite et
\(D\) la distance Terre-Soleil. On suppose que la masse \(m_T\)
de la Terre est très inférieure à la masse \(m_S\) du Soleil. On
néglige les forces d’inertie.
On se place tout d’abord dans le cas où le satellite est situé au point \(\text{L}_1\) entre la Terre et le Soleil. Faire le bilan des forces et les représenter sur le schéma.
Montrer que la condition d’équilibre mécanique implique l’égalité : \(\frac{m_T}{d^2}=\frac{m_S}{\left( D-d\right)^2}\)
On suppose que \(d\ll D\). En déduire l’expression de la distance Terre-satellite \(d\) en fonction de \(m_T\), \(m_S\) et \(D\).
Faire l’application numérique pour \(m_T \simeq 6 \times 10^{24}\) kg, \(m_S\simeq 2 \times 10^{30}\) kg, et \(D\simeq 150 \times 10^6\) km. L’approximation \(d \ll D\) était-elle justifiée ?
L’équilibre mécanique est-il réalisable pour les points \(\text{L}_2\) et \(\text{L}_3\) ? Commenter.
Solution
Les lois de Kepler que nous avons vu en cours imposent qu’un corps (satellite, astéroïde, …) ne peut pas se trouver sur une orbite différente de celle de la Terre par exemple, et avoir la même période de rotation de 1 an.
Joseph-Louis de Lagrange (1736 − 1813) a prouvé que ce n’est pas tout à fait exact et que dans le cas particulier ou l’on considère un corps de masse négligeable soumis à l’attraction gravitationnelle de deux corps beaucoup plus massifs il existe des points privilégiés, appelés points de Lagrange où cet objet peut rester fixe par rapport aux deux autres objets.
On suppose que \(m_T \ll M_S\) et que \(d\ll D\), et donc on a \(\frac{m_T}{d^2}\approx\frac{M_S}{D^2}\), d’où:
\[\boxed{d=D\sqrt{\frac{m_T}{M_S}}}\]
Question 4.
A.N.: \(m_T=6\times10^{24} kg; M_S=2\times10^{30} kg; D=1.5\times10^{11} m \Rightarrow d=2.6\times10^8m\)
donc l’approximation \(d\ll D\) était bien justifiée.
Question 5.
Un objet de masse négligeable placé entre le Soleil et la Terre subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre (car il est plus proche du Soleil que ne l’est la Terre), et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l’objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point \(L_1\), la vitesse angulaire de l’objet devient exactement égale à celle de la Terre.
Aux points \(L_2\), le principe est similaire mais de l’autre côté de la Terre. L’objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l’accélérer. À un certain point, le point \(L_2\), l’objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil. De la même manière, il existe un point situé un peu plus loin que l’opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.
Pour aller plus loin
Observer l’Univers depuis les points de Lagrange
Lorsqu’un satellite est à un point de Lagrange, les positions relatives des trois corps (satellite, Terre et Soleil) sont fixes. Ainsi un satellite terrestre placé sur l’un de ces points n’en bouge plus et tourne de concert, de manière fixe, avec la Terre autour du Soleil.
Fig. 44 Les Points de Lagrange (Crédits: Wikipedia)
Les points de Lagrange: les satellites artificiels et l’observation de l’Univers
Le point \(L_1\) est situé entre la Terre et le Soleil, et est donc idéal pour observer le Soleil. C’est au point \(L_1\) situé à 1.5 million de km de la Terre que se trouve le satellite d’observation solaire, SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) depuis 1995.
Le point \(L_2\) est situé dans la direction opposée au Soleil. Il est donc l’endroit idéal pour placer un satellite d’observation du ciel profond, puisqu’il pourra en même temps garder ses panneaux solaires tournés vers le Soleil et pointer son télescope vers l’extérieur du système solaire. Pour cette raison de nombreux satellites d’observation astronomique ont été placés ou sont actuellement au point \(L_2\).
La Table ci-dessous donne le nom des quelques-uns des satellites qui occupent ou ont occupé les points de Lagrange L1 et L2:
Tableau 6 Exemples de satellites aux points de Lagrange
Les satellites naturels aux points de Lagranges: la Troyens
Parfois des astéroides passent proches d’un point de Lagrange et s’y « installent », orbitant autour du point de Lagrange et suivant la planète correspondante sur son orbite autour du Soleil. On appelle ce type d’objets des satellites troyens.
Jupiter, la planète la plus massive du système solaire, possède des milliers de satellites troyens. L’animation ci-dessous illustrent leurs orbites
La sonde spatiale Lucy a été lancée en 2021 pour aller étudier les troyens de Jupiter.
Mais la Terre elle aussi possède ce genre de satellite! On en connait actuellement deux: en 2017, les astronomes on découvert un astéroide au point \(L_4\) du système Terre-Soleil: l’astéroide 2010 TK7. En 2021, ils découvraient un autre asteroide, 2020 XL5, qui orbite autour du point \(L_5\). En 2024, les astronomes ont découvert un petit astéroide appelé 2024 PT5 qui orbitera autour de la Terre pendant a peu près 2 mois.
