5. La gravitation

Pour les applications numériques, on prendra : G6.67×1011 Nm2kg2.

5.1 Centrifugeuse ( - 5min)

Afin de préparer leurs missions, les astronautes s’entraînent à résister à des accélération extrêmes dans de grandes centrifugeuses, comme celle du centre de recherche de la NASA présentée sur la Fig. 9. La distance entre l’axe de rotation et le siège où s’installe l’astronaute est R= 18 m. Le système est mis en rotation à la vitesse angulaire ω = 20 tours/min. Étant donné la relation a = Rω², calculer l’accélération subie par l’astronaute. On exprimera le résultat en « nombre de g », où g ≃9, 8 m/s².

Solution

Note

Voir aussi Application 2.5 au Chapitre 2 (avec un bras plus petit…)

Pour l’application numérique, exprimons ω en unité standard, c’est à dire en radian par seconde. Comme 1 tour vaut 2π radians et 1min=60s, on a ω=20×2π602.1rad/s1.

L’accélération vaut donc:

a=Rω2=18×(2.1)279.4m.s2

Comme g9,81 ms2, on peut donc déduire que:

a=79.49.818.1g
Pour aller plus loin

Une personne sans entrainement peut supporter en moyenne autour de 5 g. Avec de l’entraînement et des combinaisons spéciales « anti-g », les pilotes de chasse ou les astronautes peuvent supporter jusqu’à environ 9 g.

Pour en savoir plus…

5.2 Gravité sur Mars ( - 5~10min)

On donne le rayon RM3400 km et la masse mM6,4×1023 kg de la planète Mars.

  1. Déterminer l’expression de l’accélération de la pesanteur gM en fonction de mM, RM, et G.

  2. Comparer le poids d’un astronaute de masse m=70 kg sur Mars et sur la Terre.

Solution
Question 1:

Nous avons vu en cours que:

g=GmMRM2=6.67×10116.4×102334000002=3.7m.s2
Question 2:
PT=mT×gT=9.81×70=686.7NPM=mM×gM=3.7×70=259.0N

5.3 Troisième loi de Kepler ( - 20∼30min)

Une planète décrit une orbite circulaire autour d’une étoile de masse m. On souhaite déterminer la relation entre la période Tp du mouvement et le rayon Rp de l’orbite. Pour cela, on procède par analyse dimensionnelle.

  • Quelle est l’unité de la constante gravitationnelle G dans le système international ?

  • On suppose qu’il existe une relation de la forme : Tp=CRpαmβGγ, où C est une constante numérique sans dimension. Déterminer la valeur des exposants α, β et γ.

  • Vénus est la deuxième planète du système solaire. La période de son orbite est TV225 jours. Étant donné la période (TT365 jours) et le rayon (RT150×106 km) de l’orbite terrestre, calculer la rayon RV de l’orbite de Vénus.

Solution
Question 1.

Nous avons vu en cours que G s’exprime en m3kg1s2.

Question 2.

On écrit l’équation aux dimensions:

[Tp]=[Rpα][mβ][Gγ]T=LαMβ(L3M1T2)γT=LαMβL3γMγT2γT1=Lα+3γMβγT2γ

En identifiant terme à terme on obtient:

{0=α+3γ0=βγ1=2γ{α=32β=12γ=12

Soit finalement:

Tp=CRp32m12G12

ce qui s’écrit aussi:

Tp=CR3Gm

Question 3.

D’après la loi de Kepler, le rapport T2R3 est constant pour toutes les planètes du système solaire.

On peut donc écrire en particulier:

TT2RT3=TV2RV3RV3=TV2×RT3TT2RV=TV2×RT3TT23

A.N.: RV=2252×(150×106)336523=108×106 km

5.4 Orbite géostationnaire ( - 10∼15min)

L’orbite géostationnaire est une orbite circulaire de période égale à la période de rotation de la Terre (T24 h). On donne : mT6×1024 kg et RT6400 km.

  • Calculer l’altitude de l’orbite géostationnaire.

  • Déterminer la vitesse d’un satellite en orbite géostationnaire.

Solution
Question 1:

Dans ce problème nous connaissons la période du satellite et on veut connaitre le rayon de son orbite. C’est bien sûr la troisème loi de Kepler qui donne la relation entre la période d’un satellite et le rayon de son orbite:

T2=4π2GmTR3R=(GmTT24π2)1/3

avec T=23h56m04s=23×3600+56×604=86164s

Application numérique:

R=(6.67×1011×5.97×1024×8616424π2)1/3=4.215×107m=42150km

Ceci est la distance au centre de la Terre. Comme le rayon de la Terre vaut 6371km, l’orbite géostationnaire se trouve à une altitude de:

h=421506371=35779km
Question 2:

La vitesse s’obtient en divisant le périmètre de l’orbite (2πR) par la durée de l’orbite:

v=2πRT=2π×4215086164=3.07km/s

5.5 Points de Lagrange ( - 20∼30min)

On considère un satellite de masse m situé sur l’axe Terre-Soleil — voir la Fig. 43. On souhaite déterminer les positions où les forces qui s’exercent sur le satellite se compensent. On note d la distance Terre-satellite et D la distance Terre-Soleil. On suppose que la masse mT de la Terre est très inférieure à la masse mS du Soleil. On néglige les forces d’inertie.

_images/ch5_lagrange.png

Fig. 43 Points de Lagrange sur l’axe Terre-Soleil.

  1. On se place tout d’abord dans le cas où le satellite est situé au point L1 entre la Terre et le Soleil. Faire le bilan des forces et les représenter sur le schéma.

  2. Montrer que la condition d’équilibre mécanique implique l’égalité : mTd2=mS(Dd)2

  3. On suppose que dD. En déduire l’expression de la distance Terre-satellite d en fonction de mT, mS et D.

  4. Faire l’application numérique pour mT6×1024 kg, mS2×1030 kg, et D150×106 km. L’approximation dD était-elle justifiée ?

  5. L’équilibre mécanique est-il réalisable pour les points L2 et L3 ? Commenter.

Solution
Les lois de Kepler que nous avons vu en cours imposent qu’un corps (satellite, astéroïde, …) ne peut pas se trouver sur une orbite différente de celle de la Terre par exemple, et avoir la même période de rotation de 1 an.

Joseph-Louis de Lagrange (1736 − 1813) a prouvé que ce n’est pas tout à fait exact et que dans le cas particulier ou l’on considère un corps de masse négligeable soumis à l’attraction gravitationnelle de deux corps beaucoup plus massifs il existe des points privilégiés, appelés points de Lagrange où cet objet peut rester fixe par rapport aux deux autres objets.

Question 1.

Bilan des forces:

FTL1=GmmTd2exFSL1=GMS(Dd)2ex
Question 2.

À l’équilibre, on a ma=0 et donc la somme des forces est nulle:

FTL1+FSL1=0GmmTd2=GmMS(Dd)2

et donc:

mTd2=MS(Dd)2
Question 3.

On suppose que mTMS et que dD, et donc on a mTd2MSD2, d’où:

d=DmTMS
Question 4.

A.N.: mT=6×1024kg;MS=2×1030kg;D=1.5×1011md=2.6×108m

donc l’approximation dD était bien justifiée.

Question 5.

Un objet de masse négligeable placé entre le Soleil et la Terre subit une gravité solaire supérieure à celle de la Terre (car il est plus proche du Soleil que ne l’est la Terre), et tourne donc plus rapidement autour du Soleil que ne le fait la Terre. Mais la gravité terrestre contrecarre en partie celle du Soleil, ce qui le ralentit. Plus on rapproche l’objet de la Terre, plus cet effet est important. À un certain point, le point L1, la vitesse angulaire de l’objet devient exactement égale à celle de la Terre. Aux points L2, le principe est similaire mais de l’autre côté de la Terre. L’objet devrait tourner moins vite que la Terre parce que la gravité solaire y est moindre, mais le champ gravitationnel supplémentaire dû à la Terre tend à l’accélérer. À un certain point, le point L2, l’objet tourne exactement à la même vitesse angulaire que la Terre autour du Soleil. De la même manière, il existe un point situé un peu plus loin que l’opposé de la Terre par rapport au Soleil, où un objet de masse négligeable serait en équilibre.

Pour aller plus loin
Observer l’Univers depuis les points de Lagrange

Lorsqu’un satellite est à un point de Lagrange, les positions relatives des trois corps (satellite, Terre et Soleil) sont fixes. Ainsi un satellite terrestre placé sur l’un de ces points n’en bouge plus et tourne de concert, de manière fixe, avec la Terre autour du Soleil.

_images/Lagrangianpointsanimated.gif

Fig. 44 Les Points de Lagrange (Crédits: Wikipedia)

Les points de Lagrange: les satellites artificiels et l’observation de l’Univers

Le point L1 est situé entre la Terre et le Soleil, et est donc idéal pour observer le Soleil. C’est au point L1 situé à 1.5 million de km de la Terre que se trouve le satellite d’observation solaire, SoHO (Solar and Heliospheric Observatory) depuis 1995. Le point L2 est situé dans la direction opposée au Soleil. Il est donc l’endroit idéal pour placer un satellite d’observation du ciel profond, puisqu’il pourra en même temps garder ses panneaux solaires tournés vers le Soleil et pointer son télescope vers l’extérieur du système solaire. Pour cette raison de nombreux satellites d’observation astronomique ont été placés ou sont actuellement au point L2.

La Table ci-dessous donne le nom des quelques-uns des satellites qui occupent ou ont occupé les points de Lagrange L1 et L2:

Tableau 6 Exemples de satellites aux points de Lagrange

Satellite

Date de lancement

L1

L2

WIND

1994

SOHO

1995

WMAP

2001

GENESIS

2001

PLANCK

2009

HERSCHEL

2009

GAIA

2013

JWST

2021

EUCLID

2023

Les satellites naturels aux points de Lagranges: la Troyens

Parfois des astéroides passent proches d’un point de Lagrange et s’y « installent », orbitant autour du point de Lagrange et suivant la planète correspondante sur son orbite autour du Soleil. On appelle ce type d’objets des satellites troyens.

Jupiter, la planète la plus massive du système solaire, possède des milliers de satellites troyens. L’animation ci-dessous illustrent leurs orbites

_images/troyens.gif

Fig. 45 Les satellites troyens de Jupiter.

La sonde spatiale Lucy a été lancée en 2021 pour aller étudier les troyens de Jupiter.

Mais la Terre elle aussi possède ce genre de satellite! On en connait actuellement deux: en 2017, les astronomes on découvert un astéroide au point L4 du système Terre-Soleil: l’astéroide 2010 TK7. En 2021, ils découvraient un autre asteroide, 2020 XL5, qui orbite autour du point L5. En 2024, les astronomes ont découvert un petit astéroide appelé 2024 PT5 qui orbitera autour de la Terre pendant a peu près 2 mois.