2. Cinématique du point
La cinématique a pour objet l’étude des mouvements, indépendamment des causes qui les produisent. Dans ce chapitre, nous définissons les notions de vitesse et d’accélération dont nous aurons besoin pour caractériser les trajectoires. Nous introduisons également les notions mathématiques qui nous seront indispensables tout au long de ce cours.
Géométrie dans l’espace
En physique, on peut distinguer deux types de grandeurs : les scalaires, qui sont spécifiés par un nombre et éventuellement une unité, et les vecteurs, caractérisés par une direction, un sens et une norme. La norme étant elle-même un scalaire, elle peut également avoir une dimension. Nous commençons par rappeler quelques propriétés des vecteurs.
Définition
Un vecteur est un segment orienté, ayant pour extrémités un point de
départ et un point d’arrivée, que l’on note respectivement
sa direction, la droite
.son sens, du point
vers le point .sa norme, qui correspond à la longueur du segment
.
Une propriété importante en calcul vectoriel est la relation de
Chasles :
Coordonnées cartésiennes
Pour repérer la position d’un point dans l’espace, on définit le
repère cartésien
les vecteurs sont unitaires :
.ils sont orthogonaux deux à deux.
ils forment un trièdre direct.
Cette dernière condition permet de définir une orientation de l’espace.

Fig. 5 Gauche (a) Illustration de la règle des trois doigts (de la main droite). Droite (b) Trièdres incomplets.
En physique, il est essentiel de savoir construire une base directe.
Pour cela, on applique la « règle des trois doigts » illustrée sur la Fig. 5 (a) : le pouce (de la main droite) donne
le sens de
Dans un repère cartésien, la position d’un point
Plus généralement, si deux points

Fig. 6 Gauche: (a) Définition des coordonnées d’un point
Produit scalaire et norme
Dans un repère cartésien, la norme du vecteur
On définit également le produit scalaire entre
Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes :
D’un point de vue géométrique, le produit scalaire est relié à l’angle
Dans le cas particulier où
Vitesse et accélération
Revenons maintenant à la physique et concentrons-nous sur la description
des mouvements. La trajectoire d’un point
Mouvement unidimensionnel
Considérons le mouvement rectiligne d’un point
La vitesse du point
à l’instant est égale à la dérivée de la position par rapport au temps : (4)Dimension :
. Unité : .
La vitesse étant elle-même une fonction du temps, on définit la notion d’accélération.
Définition
L’accélération du point
Dimension :
L’accélération peut prendre des valeurs aussi bien positives que
négatives : elle est positive en phase d’accélération (lorsque la
vitesse augmente), et négative en phase de décélération (lorsque la
vitesse diminue). Si la vitesse est constante,
Rappels
Dérivée d’une fonction
Considérons deux points infiniment proches

Suivant les disciplines, on rencontre différentes notations pour
désigner la dérivée. La notation
Interprétation géométrique
La dérivée d’une fonction
Dérivée des fonctions usuelles
Fonction |
Dérivée |
Intervalles de dérivabilité |
---|---|---|
k (constante) |
0 |
|
1 |
||
Dérivée d’une fonction composée
Les fonctions rencontrées en physique sont souvent des fonctions
composées :
Par exemple :
Primitives de la vitesse et de l’accélération
Connaissant la fonction
Définition
On appelle primitive de la fonction
Cette définition implique que la primitive d’une fonction n’est pas
unique : si on ajoute n’importe quelle constante
Exemples :
Pour déterminer la valeur de la constante d’intégration, on a besoin d’une condition initiale qui fixe la valeur de la fonction à un instant donné.
Si on reprend les exemples précédents avec les conditions initiales suivantes :
La table ci-dessous rappelle quelques primitives de fonctions usuelles.
Fonction |
Intervalles |
Primitive |
---|---|---|
Généralisation à 3 dimensions
Dans le cas général d’un mouvement dans l’espace, c’est-à-dire à 3
dimensions, la position du point
En coordonnées cartésiennes, nous pouvons donc écrire :
où
Afin de mieux appréhender ces définitions, arrêtons-nous un instant sur leur interprétation géométrique illustrée sur la Fig. 7.

Fig. 7 Définition et interprétation géométrique des vecteurs vitesse (a) et accélération (b).
- Discutons tout d’abord le vecteur vitesse. On note
la position à l’instant
du point mobile dont on suit la trajectoire, et sa position à un instant infiniment proche . Pendant l’intervalle de temps , le vecteur position varie d’une quantité infinitésimale . Dans la limite , le point se rapproche de plus en plus du point de telle sorte que . Le rapport tend quant à lui vers une valeur finie qui définit le vecteur vitesse :Nous pouvons en particulier conclure que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
- Discutons tout d’abord le vecteur vitesse. On note
Un raisonnement similaire peut être développé pour le vecteur accélération. Pendant le même intervalle de temps
, le vecteur vitesse varie de la quantité , comme représenté sur la Fig. 7 (b). Dans la limite , le rapport tend également vers une valeur finie :La Fig. 7 (b) révèle également que le vecteur accélération est toujours orienté à l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
Natures d’un mouvement
En pratique, on distingue trois types de mouvements :
les mouvements uniformes, pour lesquels la norme du vecteur vitesse est constante.
les mouvement accélérés, pour lesquels la vitesse augmente.
les mouvements décélérés, pour lesquels la vitesse diminue.
Mathématiquement, la norme du vecteur vitesse est donnée par :
de telle sorte que :
Cette dernière relation indique que le signe de la dérivée de la vitesse
est le même que celui du produit scalaire
si
, alors le mouvement est uniforme.si
, alors le mouvement est accéléré.si
, alors le mouvement est décéléré.
Pour qu’un mouvement soit uniforme, il faut donc que l’une des
conditions suivantes soit vérifiée : soit
Mouvement circulaire
Nous discutons maintenant les mouvements dans le plan
Position et angle polaire
Dans le cas d’un mouvement circulaire, la position du point
Pour décrire le mouvement, on introduit deux nouveaux vecteurs
unitaires : le vecteur
Contrairement aux vecteurs de la base cartésienne, qui sont fixes, les
vecteurs

Fig. 8 Mouvement circulaire dans le plan
Mouvement circulaire uniforme
Un cas particulier important est celui du mouvement circulaire
uniforme : supposons que l’angle
La vitesse s’obtient alors en dérivant les
coordonnées (Éq. (9)) du point
La norme
La norme de la vitesse étant constante, le mouvement est bien uniforme. En outre, si l’on compare l’équation (12) avec l’expression (10) des vecteurs unitaires, on peut encore écrire :
Autrement dit, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
En dérivant encore une fois par rapport au temps, on détermine les composantes du vecteur accélération :
La norme
On obtient donc une relation entre vitesse et accélération pour un mouvement circulaire uniforme :
Finalement, en comparant les expressions (13)
avec les coordonnées (Éq: (10)) du vecteur
L’accélération étant dirigée vers l’intérieur du cercle, on dira qu’elle est centripète.

Fig. 9 Centrifugeuse du centre de recherche de la NASA en Californie.
Mouvement circulaire non uniforme
Reprenons le raisonnement précédent dans le cas général où la vitesse
angulaire
Ceci s’exprime encore dans la base locale
Bien entendu, on trouve que le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire. Si l’on dérive encore une fois l’équation (15), on obtient l’expression de l’accélération qui prend la forme suivante dans la base locale :
On voit donc que l’accélération a maintenant une composante
tangentielle, qui est proportionnelle à l’accélération angulaire
Testez vos connaissances
Après avoir étudier ce chapitre, testez vos connaissances sur Wooclap
