Dans le chapitre précédent, nous avons étudié les propriétés des
mouvements indépendamment de leur origine. Nous allons maintenant
établir le lien entre les forces qui agissent sur un point matériel et
le mouvement qui en résulte. Nous présentons d’abord les lois de Newton
qui régissent les trajectoires d’un point matériel. Nous appliquons
ensuite ces principes à l’étude de la chute libre.
L’étude générale d’un mouvement est une question complexe : outre le
déplacement de son centre de gravité, le système peut tourner sur
lui-même ou encore se déformer. Le point de vue de la mécanique du point
consiste à adopter la modélisation mathématique la plus simple possible
en assimilant le système à un point géométrique. On définit un point
matériel\(M\) par :
son vecteur position \(\vec{r}=\overrightarrow{OM}\), dont découlent le vecteur vitesse \(\vec{v}= \text{d}\vec{r}/ \text{d}t\) ainsi que le vecteur accélération \(\vec{a}= d \vec{v} / \text{d}t\).
sa masse \(m\), dont l’unité est le kilogramme (kg).
En règle générale, on peut réduire un système à un point matériel si ses
dimensions sont petites par rapport aux échelles caractéristiques du
mouvement étudié. Considérons par exemple le mouvement de révolution de
la Terre autour du Soleil. Le rayon de la Terre est d’environ
\(6.4\times 10^3\) km, alors que la distance Terre-Soleil vaut
approximativement \(1.5\times 10^8\) km. Il est donc possible de
réduire la Terre à un point matériel de masse \(m_T\approx
6\times 10^{24}\) kg.
La masse \(m\) du point matériel est aussi appelée masse inerte.
L’expérience montre en effet qu’il est plus difficile de communiquer une
vitesse donnée à une balle de golf qu’à une balle de ping-pong. Il est
aussi plus difficile de l’arrêter une fois qu’elle est lancée. On
appelle inertie la résistance que présente un corps à toute
modification de sa vitesse. Plus la masse du corps est importante, plus
il aura tendance à conserver sa vitesse, et plus il sera difficile de modifier sa vitesse..
Une force est une action physique capable de produire ou de modifier
le mouvement d’un point matériel. Elle est spécifiée par un vecteur qui
est généralement noté \(\vec{F}\). Une force est définie par sa
direction, son sens et son intensité \(F=\Vert \vec{F} \Vert\).
L’unité de force est le newton :
\(1~\text{N}= 1~\text{kg}\cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\).
Au niveau fondamental, on ne connaît que 4 forces (ou interaction)
élémentaires :
l’interaction gravitationnelle est responsable de l’attraction des corps massifs sous l’effet de leur masse. Cette force à longue portée est toujours attractive. Elle se manifeste par l’attraction terrestre et les phénomènes de marée, et gouverne les orbites des planètes. Plus généralement, elle est impliquée dans la structure à grande échelle de l’univers.
l’interaction électromagnétique décrit les forces entre charges
électriques. Elle est impliquée dans de nombreux phénomènes du
quotidien (ondes lumineuses, électricité, magnétisme) et est
responsable de la structure des atomes. Elle peut être attractive ou répulsive: par exemple, deux pôles d’aimants de même signe («nord» ou «sud») vont se repousser alors que deux pôles d’aimants de signe opposé vont s’attirer.
l’interaction faible est responsable de la désintégrations de
certaines particules subatomiques (radioactivité \(\beta\)). Elle
est également à l’origine des phénomènes de fusion nucléaire et de
nucléosynthèse au cœur les étoiles.
l’interaction forte est impliquée dans le cohésion des noyaux
atomiques. Elle lie les protons et les neutrons entre eux. C’est la
plus intense des forces fondamentales.
Les interactions faibles et fortes sont toutes deux à très courte portée
(au plus \(10^{-15}\) m) : elles sont donc pertinentes en physique
subatomique. L’interaction électromagnétique est dominante aux
échelles microscopiques, alors que la force qui prédomine aux très
grandes échelles est l’interaction gravitationnelle.
Néanmoins, l’expérience montre qu’il est nécessaire d’introduire des
forces supplémentaires pour décrire de nombreux phénomènes physiques de
la vie quotidienne. En effet, les interactions (d’origine
électromagnétiques) entre atomes et molécules se manifestent au niveau
macroscopique par des forces de frottement (avec le fluide environnant
ou entre solides) ou des forces de réaction (qui nous empêchent de
passer à travers le sol par exemple). Bien que ces forces de contact
dérivent des interactions fondamentales (en tenant compte d’effets
quantiques ou relativistes, le cas échéant), elles ne sont pas
considérées comme telles.
En pratique, les forces que nous allons étudier dans ce cours se diviseront en deux catégories : les forces à distance (force de gravitation, force électromagnétique) et les forces de contact (forces de frottement, de réaction). Dans ce chapitre, nous serons encore plus restrictif en considérant uniquement la force de pesanteur. On définit le poids\(\vec{P}\):
où \(\vec{g}\) est le champ de pesanteur, de direction verticale, orienté vers le bas.
Avertissement
Le poids étant une force, il se mesure en newton et non pas en kg ! Dans le langage courant, on assimile souvent le poids à la masse et on l’exprime de manière erronée en kilogrammes.
Dans le référentiel du quotidien qu’est la surface de la Terre, la force d’attraction exercée par la Terre est (plus ou moins) constante et par abus de langage, le mot «poids» est utilisé comme synonyme de la masse.
C’est un exemple important où le langage courant et le vocabulaire scientifique sont en conflit.
Alors que le poids d’un corps dépend des masses qui exercent une attraction sur ce corps (par exemple le poids change selon que l’on se trouve à la surface d’une planète plus ou moins massive), sa masse n’en dépend pas.
Un astronaute de masse 70kg a un poids de 686N sur Terre et de 114N sur la Lune.
Nous verrons au Chapitre 5 que la force de pesanteur est une manifestation locale de l’interaction gravitationnelle. Elle dépend donc des propriétés du corps attracteur. À la surface de la Terre, l’intensité moyenne \(g = \Vert \vec{g} \Vert\) du champ de pesanteur vaut :
La masse grave (parfois appelée masse gravitationnelle ou masse pesante) est une mesure de la quantité de matière présente dans un objet.
Tous les objets macroscopiques qui nous entourent possèdent une masse gravitationnelle: les êtres vivants, les matériaux, les planètes, les galaxies, etc… À l’échelle des particules élémentaires, ce n’est pas le cas et certaines particules
ne possèdent pas de masse gravitationnelle.
Question: citez une particule dont la masse gravitationnelle est nulle
Le photon. N’ayant pas de
masse gravitationnelle, le photon n’attire pas les corps massifs. Mais comme l’a expliqué Einstein dans sa
théorie de la Relativité Générale, il peut néanmoins subir le champ gravitationel des corps massifs.
Dans le Système International, l’unité de la masse est le kilogramme (kg). Le tab-masses donnent les masses (ou l’ordre de grandeur) de quelques objets typiques allant des particules sub-atomiques au grandes structures de l’Univers.
Il n’y a a priori aucune raison fondamentale imposant que masse inerte et masse grave soient identiques, puisqu’elles sont définies de manière indépendante.
C’est le principe d’équivalence énoncé par Einstein dans le cadre de la théorie de la relativité générale (1915) qui stipule que la masse inertielle et la masse gravitationnelle sont proportionnelles quel que soit le corps.
Avec un choix d’unités judicieux on donc peut facilement obtenir leur égalité, et on écrit souvent que le principe d’équivalence énonce l’égalité entre masse inertielle et masse gravitationnelle.
Dans la suite de ce cours nous parlerons donc de masse, sans préciser s’il s’agit de la masse gravitationnelle ou inertielle.
Note
Ce principe, comme tous les principes de la Physique, est un
constat expérimental, jamais démenti mais inexpliqué. De nombreuses
expériences ont testé cette égalité, réduisant toujours plus
l’écart possible entre ces deux masses. La dernière en date a été
menée e 2016 par le Centre National d’Études Spatiales avec le
satellite MICROSCOPE et a
demontré que la différence, si elle existe, doit être plus petite
que \(2\times10^{-15}\).
---
locale: 'fr'
---
## Quelle force fondamentale explique le mouvement des planètes?
> dépend de leur masse
- [ ] La force électromagnétique
- [x] La force de gravitation
- [ ] l'interaction faible
- [ ] l'interaction forte
## Quelle phrase est correcte?
> Le poids est une force
- [ ] Son poids est de 70kg
- [x] Sa masse est de 70 kg
## Quelle est la force d'attraction gravitationnelle (=le poids) à la surface de la Terre pour une personne de 90kg?
> On rappelle que *g*=9.81 m s⁻².
- [ ] 783.4 N
- [x] 882.9 N
- [ ] 90 N
- [ ] 9.17 N
## Une personne subit une force d'attraction gravitationnelle de 687N à la surface de la Terre. Quelle est sa masse?
> On rappelle que *g*=9.81 m s⁻².
- [ ] 90 kg
- [ ] 687 kg
- [x] 70 kg
- [ ] 6739.5 kg
## Une personne de 75kg subit une force d'attraction gravitationnelle de 127.5N à la surface de la Lune. Combien vaut l'accélération de la pesanteur sur la Lune?
> P = m × g
- [ ] 9562.5 m s⁻²
- [ ] 9.81 m s⁻²
- [x] 1.7 m s⁻²
## Quelle phrase est correcte?
> La masse est une quantité de matière
- [x] Une masse de 1kg sur la Terre possède une masse de 1kg sur la Lune
- [ ] Une masse de 1kg sur la Terre possède une masse de 0.17kg sur la Lune
En 1687, Newton formule un ensemble de trois lois fondamentales qui
constituent encore aujourd’hui les bases de la mécanique classique. Ses
travaux marquent un tournant décisif dans l’histoire des sciences en
proposant une description mathématique de la physique.
En mécanique du point, un système est dit isolé s’il n’est soumis à
aucune force extérieure [1]. En pratique, cette définition a peu de
sens car il est difficile — voire impossible — de soustraire un système
de toute influence externe. On introduit alors la notion de système
pseudo-isolé lorsque la résultante des forces qui lui sont
appliquées est nulle. La première loi de Newton, ou principe
d’inertie, s’énonce alors de la manière suivante :
1.1 Principe d’inertie
Il existe une famille de référentiels,
appelés référentiels galiléens, tels que, par rapport à l’un de ces
référentiels, tout système isolé ou pseudo-isolé est soit au repos,
soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
Le principe d’inertie peut encore s’exprimer sous la forme mathématique
suivante :
où \(\vec{v}_0\) est un vecteur constant. Notons que la situation où
le système est au repos correspond au cas particulier
\(\vec{v}_0 = \vec{0}\).
Le principe d’inertie fait appel à la notion de référentiel, que
l’on définit comme un ensemble de points fixes par rapport auxquels on
repère une position ou un mouvement. Considérons par exemple un train
qui se déplace selon un mouvement rectiligne uniforme. Le principe
d’inertie s’applique aussi bien pour un observateur à l’intérieur du
train (qui est lié au référentiel en translation uniforme) que pour un
observateur extérieur (qui est lié au référentiel fixe des rails par
exemple). Par contre, si le train freine ou suit une trajectoire courbe,
l’observateur à l’intérieur du train ressent des forces d’inertie.
Dans ce cas, la première loi de Newton ne s’applique plus.
Le principe d’inertie s’identifie alors à une définition empirique d’un
référentiel galiléen. Parmi les référentiels galiléens que nous
rencontrerons, on peut citer :
le référentiel de Copernic (ou héliocentrique), qui a pour origine le centre du Soleil et dont les axes sont définis par trois étoiles suffisamment éloignées pour pouvoir être considérées comme fixes. Il permet d’étudier le mouvement des planètes.
le référentiel géocentrique, qui a pour origine le centre de masse de la Terre et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic. Il sert, par exemple, à l’étude du mouvement des satellites artificiels.
le référentiel terrestre, qui a pour origine un point de la Terre et dont les axes ont des directions fixes (par exemple : le repère défini par trois arêtes d’une salle de classe).
Le caractère inertiel d’un référentiel reste toujours approximatif. En
effet, la Terre tournant sur elle-même, le référentiel terrestre n’est
pas parfaitement galiléen. De la même façon, la Terre tourne autour du
Soleil, ce dernier tournant autour du centre de la Voie Lactée. Il en
résulte que ni le référentiel géocentrique, ni le référentiel
héliocentrique ne sont parfaitement galiléens.
En pratique, nous n’aborderons dans ce cours que des situations où le
principe d’inertie est vérifié. Il sera donc toujours sous-entendu que
le référentiel d’étude est galiléen.
avec \(\vec{v}_0\) est un vecteur constant. Pour autant, le principe
d’inertie () ne doit pas être considéré comme un
cas particulier de l’équation (). En effet, le principe
d’inertie est un préalable permettant d’identifier, de manière
opérationnelle, les référentiels galiléens dans lesquels le principe
fondamental de la dynamique peut ensuite être appliqué.
Si le principe d’inertie énonce qu’aucune force extérieure n’est requise
pour entretenir un mouvement rectiligne uniforme, l’action de forces
extérieures est nécessaire pour modifier le vecteur vitesse (en norme et
en direction). Précisons également que la deuxième loi de Newton peut
être généralisée pour décrire des objets dont la masse varie au cours du
temps (comme par exemple une fusée au décollage). Si l’on définit la
quantité de mouvement \(\vec{p} = m \vec{v}\), le principe
fondamental de la dynamique prend alors la forme équivalente :
\[\sum \vec{F}_{\textrm{ext}} = \frac{\text{d}\vec{p}}{\ d t} \ .\]
La troisième loi de Newton est également appelée principe des actions
réciproques :
1.3 Principe des actions réciproques.
Si un corps\(A\)exerce une force sur un corps\(B\), il subit en retour une force d’intensité égale, de même direction mais de sens opposé.
Notons \(\vec{F}_{A/B}\) la force qu’exerce le corps \(A\) sur
le corps \(B\). En termes mathématiques, on a donc :
\[\boxed{\vec{F}_{B/A} = - \vec{F}_{A/B} \ . }\]
Ce principe implique en particulier que les deux forces sont portées par la droite qui relie les points \(A\) et \(B\) — voir fig-acreac. Newton a fait appel à ce principe pour déterminer l’expression de la force de gravitation entre deux corps massifs, qui sera discutée au Chapitre 5. En pratique, cette loi est surtout invoquée lorsque l’on étudie une assemblée de points matériels en interaction.
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une
fonction. Elle se présente sous la forme d’une relation entre cette
fonction et ses dérivées. Précisons tout de suite qu’il suffit souvent
de savoir dériver pour déterminer la solution d’une équation
différentielle ! On se limitera ce semestre à 2 types d’équations
différentielles dont il faudra connaître la solution.
Les équations qui se ramènent à une primitive :
\[\frac{d y}{d t} = f(t) \ ,\]
où \(f\) est une fonction de la variable \(t\). Dans ce cas,
la solution est tout simplement la primitive de \(f\), à savoir :
Exemple : l’équation \(\frac{dy}{dt}=2t\) admet comme solution
\(y(t) = t^2 + C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
Les équations linéaire du \(1^{\textrm{er}}\) ordre :
\[\frac{d y}{d t} = \alpha y(t) \ ,\]
où \(\alpha\) est une constante. Cette équation se lit de la
manière suivante : « On cherche une fonction \(y(t)\), telle que
sa dérivée soit égale à la fonction elle-même (multiplié par une
constante) ». Or il n’existe qu’une seule fonction qui vérifie cette
propriété : la fonction exponentielle. La solution est donc :
\[y(t) = Ce^{\alpha t} \ ,\]
où \(C\) est une constante.
Il est important de vérifier systématiquement le résultat en
injectant la solution dans l’équation. La dernière étape pour résoudre
une équation différentielle consiste à déterminer les constantes
d’intégration à l’aide des conditions initiales.
Application 3.1: Déterminer la solution de l’équation différentielle : \(\frac{dy}{dt} = -2 y(t)\) avec la condition intiale : \(y(0)=3\).
On considère l’équation différentielle: \(\frac{dy}{dt}=-2 y(t)\).
La solution est de la forme: \(y(t)= C e^{-2t}\).
On vérifie bien que: \(\frac{dy}{dt}=-2 \cdot \underbrace{C e^{-2t}}_{y(t)}=-2 y(t)\)
Les conditions initiales permettent d’écrire que pour \(t=0\) on a: \(y(0)=C \cdot \underbrace{e^{0}}_{=1} = 3\)
Et donc: \(C=3\) et finalement \(\boxed{y(t)=3 e^{-2t}}\)
Nous appliquons maintenant les lois de Newton pour caractériser le
mouvement d’un point matériel soumis uniquement à son poids
\(\vec{P}=m\vec{g}\). On définit pour cela le repère cartésien
\(Oxyz\), l’axe vertical \((Oz)\) étant orienté vers le haut.
D’après le principe fondamental de la dynamique, nous pouvons écrire :
\(\vec{P} = m\vec{a}\). Il en découle que la masse disparaît de
l’équation du mouvement :
Nous pouvons donc d’ores et déjà conclure que le mouvement de chute
libre d’un point matériel est indépendant de sa masse. Ce résultat
contre-intuitif n’est strictement valable que dans le vide. Dans le cas
où le mouvement a lieu dans un fluide, l’air ou l’eau par exemple,
l’équation () est une équation
approchée qui n’est valable que lorsque les forces de frottement sont
négligeables.
Dans la suite, nous déterminons les solutions de
l’équation () selon que la vitesse
initiale soit nulle ou non. Ceci nous permettra de mettre en place la
méthodologie qui sera utilisée systématiquement en mécanique du point.
On suppose tout d’abord que la particule est lâchée à l’instant
\(t=0\) de l’altitude \(h\), sans vitesse initiale. Pour
résoudre les équations du mouvement, on commence par projeter
l’équation () sur l’axe
\((Oz)\) :
\[\frac{\text{d}v_z }{\text{d}t} = -g \ .\]
Cette équation différentielle s’intègre directement et l’on obtient :
où \(C\) est une constante d’intégration. Pour fixer sa valeur, on
utilise la condition initiale à \(t=0\). L’objet étant lâché sans
vitesse initiale, on a :
Si l’on compare l’expression () de la vitesse évaluée
à \(t=0\) avec la condition initale (), on en déduit
que \(C=0\). On obtient finalement l’expression de la vitesse :
À partir de ce résultat, nous pouvons également déterminer l’évolution
de la position en fonction du temps. En effet, position et vitesse sont
liées par la relation :
Si l’on compare l’expression () de la position évaluée
à \(t=0\) avec la condition initiale (), on en
déduit que \(C'=h\). Finalement, l’évolution de la position en
fonction du temps est donnée par la formule :
Ce résultat est appelé l’équation horaire du mouvement.
Application 3.2: On lâche sans vitesse initiale un point matériel de masse \(m\) soumis uniquement à son poids \(\vec{P}=m\vec{g}\). Évaluer de deux façons le temps \(t\) nécessaire pour parcourir la hauteur \(h\) : (i) en raisonnant par analyse dimensionnelle, puis (ii) en appliquant la formule () .
(i) Analyse dimensionnelle
On cherche une relation entre le temps de chute, la masse de l’objet, l’accélération de la pesanteur et la hauteur de départ: \(t=f(m,g,h)\).
Si une telle relation existe, on suppose qu’elle prend la forme: \(t=C m^{\alpha} h^{\beta} g^{\gamma}\).
Nous reprenons maintenant le mouvement de chute libre dans la situation
plus générale où le point matériel est lancé depuis l’origine avec une
vitesse initiale \(\vec{v}_0\). On suppose que le vecteur
\(\vec{v}_0\) fait un angle \(\alpha\) avec l’axe \((Ox)\),
comme représenté sur la fig-ch3-parabole (a).
Gauche: Mouvement balistique d’un point matériel dans le champ de pesanteur uniforme. Droite: Trajectoire parabolique du projectile: équation ().
L’équation () étant une égalité
entre vecteurs, la première étape consiste à projeter cette équation
selon les trois directions de l’espace. On obtient donc trois équations
différentielles :
En intégrant ces équations, on obtient les composantes de la vitesse :
()\[v_x(t) = A \ , \quad
v_y(t) = B \ , \quad \text{et} \quad
v_z(t) = -gt + C \ ,\]
où \(A\), \(B\) et \(C\) sont des constantes d’intégrations.
Pour déterminer leur valeur, nous utilisons les conditions initiales qui
sont fixées par l’expérience (voir la fig-ch3-parabole) :
En comparant les expressions des composantes de la
vitesse () évaluées à \(t=0\) avec les
conditions initiales (), on obtient
\(A=v_0 \cos \alpha\), \(B=0\) et \(C=v_0 \sin \alpha\). La
vitesse est donc donnée par :
Afin d’obtenir les équations horaires du mouvement, on intègre encore
une fois l’équation () pour obtenir :
()\[x(t) = v_0t \cos \alpha + A' \ , \quad
y(t) = B' \ , \quad \text{et} \quad
z(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t \sin \alpha + C' \ .\]
Les constantes d’intégration sont déterminées avec les conditions
initiales : la masse étant lancée depuis l’origine, on a
\(x(0)=y(0)=z(0)=0 \ \Rightarrow \ A'=B'=C'=0\). Finalement, les
équations horaires s’écrivent :
Le mouvement s’effectue donc dans le plan formé par le vecteur vitesse
initiale \(\vec{v}_0\) et le vecteur champ de pesanteur
\(\vec{g}\). Il correspond à la combinaison de deux mouvements
rectilignes, selon les axes \((Ox)\) et \((Oz)\). La composante
selon \((Ox)\) de la force étant nulle, le principe d’inertie
implique que le mouvement horizontal est rectiligne uniforme. En
revanche, on retrouve selon la direction \((Oz)\) le mouvement
accéléré discuté au paragraphe « Chute libre sans vitesse initiale ».
Enfin, on peut déterminer l’équation de la trajectoire \(z(x)\) en
éliminant le paramètre \(t\) dans les
expressions () :
La trajectoire est donc une parabole, représentée sur la
fig-ch3-parabole (b).
Application 3.3: Calculer la distance \(L\) parcourue par le projectile au moment où il touche le sol (\(z=0\)). Pour quelle valeur de l’angle \(\alpha\) cette distance est-elle maximale?
Distance parcourue
Lorsque le projectile touche le sol, on a:
\[z(L)=0=-\frac{g}{2v_0^2 \cos^2{\alpha}} L^2 + L \tan{\alpha}\]
donc:
\[\begin{split}L^2 &= \frac{2v_0^2}{g} \cos^2{\alpha} \tan{\alpha} L \\
&= \frac{2v_0^2}{g} \cos{\alpha} \sin{\alpha} L \\
&= \frac{v_0^2}{g} \sin{2\alpha} L\\\end{split}\]
Cette équation du second degré possède deux solutions:
\[\begin{split}\begin{cases}
L = 0 \\
L = \frac{v_0^2}{g} \sin{2\alpha} \\
\end{cases}\end{split}\]
Valeur maximale de L
L’angle est compris entre :math:0le alpha e frac{pi}{2}. L’expression ci-dessus sera maximale quand \(\sin{2\alpha}\) est maximal, c’est à dire quand \(\alpha=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}\).
La distance vaut alors \(\boxed{L=\frac{v_0^2}{g}}\).
La ch3_appli3-3 illustre la variation de la trajectoire et de la distance parcourue en fonction de \(\alpha\).
La chute libre n’est pas le seul exemple de mouvement dans un champ de
force constant. En effet, lorsqu’une particule de charge \(q\) est
soumise à un champ électrique uniforme \(\vec{E}\), elle subit la
force :
La force électrique peut être mise à profit pour accélérer les
électrons, comme par exemple dans les tubes cathodiques des anciennes
générations d’écrans ou de téléviseurs. Elle est également utilisée dans
les accélérateurs de particules pour étudier la structure des noyaux
atomiques et découvrir de nouvelles particules élémentaires, comme au
Centre Européen pour le Recherche Nucléaire (CERN) basé à Genève — voir
ch3_cern.
Détecteur de particule sur l’anneau du LHC (crédit photo : CERN).
