3.1 Loi de la chute des corps de Galilée \((\ast \ast)\)
Selon la légende, le savant italien
Galilée (1564–1642)
aurait établi la loi de la chute des corps en lâchant un objet depuis le
sommet de la tour de Pise — voir la Fig. 32 (a).
Pour modéliser cette expérience, on assimile l’objet à un point matériel
de masse \(m\). Il est lâché sans vitesse initiale depuis le sommet
de la tour, dont la hauteur est \(h=57\) m. On donne :
\(g=9,8~\text{m}\cdot \text{s}^{-2}\).
On note \(V\) la vitesse de l’objet au moment de l’impact avec le
sol. On suppose qu’il existe une relation de la forme :
\(V=Cm^{\alpha} g^{\beta} h^{\gamma}\), où \(C\) est une
constante numérique sans dimension. Déterminer par analyse
dimensionnelle les exposants \(\alpha\), \(\beta\) et
\(\gamma\).
Solution
On suppose que: \(V=Cm^{\alpha} g^{\beta} h^{\gamma}\). On peut alors écrire l’équation aux dimensions:
Afin de déterminer la valeur de la constante numérique \(C\), nous
appliquons le principe fondamental de la dynamique en suivant la
méthodologie vue en cours.
Définir le système et faire le bilan des forces. On exprimera les
composantes des forces dans le repère que l’on aura préalablement
spécifié.
Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour déterminer la
composante \(a_z\) de l’accélération.
Intégrer cette relation pour déterminer l’expression de
\(v_z(t)\), puis de \(z(t)\). On précisera en particulier les
conditions initiales \(v_z(0)\) et \(z(0)\).
Établir finalement la loi de Galilée : \(V= \sqrt{2gh}\), et
faire l’application numérique.
Solution
Question 1.
Le système est l’objet. Une seule force d’applique sur le système: le poids.
On définit le repère (Oxz) tel que sur la Fig. 32.
Comme par définition de l’accélération on a: \(\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt} \Rightarrow\), on peut donc écrire que:
\(a_z=\frac{dv_z}{dt}=-g\) et donc \(v_z(t)=-g t + C\)
À l’instant \(t=0\) l’objet part avec une vitesse initiale nulle, et donc: \(v(0)=0=C\), et donc finalement:
\(\boxed{v(t)=-g t}\)
Pour obtenir l’équation horaire, on intègre encore une fois:
\(v_z(t)=-g t =\frac{dz}{dt} \Rightarrow z(t) = -\frac{1}{2} gt^2 + C'\)
À l’instant initial, l’objet se trouve à la hauteur \(z(0)=h=C'\), et donc finalement \(\boxed{z(t)=-\frac{1}{2}gt^2 + h}\)
Question 4.
Lorsque le boulet atteind le sol à l’instant \(\tau\), on a \(z(T)=-\frac{1}{2}g \tau + h = 0\).
Donc: \(\boxed{\tau=\sqrt{\frac{2h}{g}}}\).
La vitesse vaut alors:
\(v(\tau)=-g \tau = -\sqrt{2gh}\)
A.N.: \(v=-\sqrt{2\times 9.81\times 57}=-33.44\) m/s
Fig. 32 Gauche (a) La tour penchée de Pise. Droite (b) Archère au moment du tir.
Un peu d’Histoire…
Sans connaître la loi de la gravitation universelle, Galilée avait déjà découvert que des objets de masses différentes lâchés depuis la même hauteur tombaient avec la même accélération, et donc arrivaient sur le sol au même instant.
D’après le récis (controversé) de son disciple Vincenzo Viviani, Galilée aurait fait l’expérience en lâchant deux objets de masses différentes du haut de la tour de Pise (cf Exercice 3 du Chapitre 3).
Quelques siècles plus tard, l’astronaute David Scott, commandant de la mission lunaire Apollo 15, réalisa l’expérience sur la Lune avec une plume et un marteau.
En l’absence d’atmosphère, aucun frottement ne vient ralentir la plume qui alunit au même instant que le marteau, comme vous pouvez le voir dans la vidéo ci-contre.
On s’intéresse à la trajectoire d’une flèche de masse \(m=30\) g,
tirée à la vitesse \(v_0=250\) km/h en direction d’une cible située
à la distance \(d=70\) m — voir la Fig. 32 (b). On suppose que l’arc et le centre
de la cible se trouvent à la même hauteur. On souhaite déterminer
l’angle \(\alpha\) entre la direction initiale du mouvement et l’axe
horizontal pour que la flèche atteigne sa cible. En première
approximation, la flèche peut être assimilée à un point matériel.
Définir le système et faire le bilan des forces.
Définir le repère et faire un schéma. On fera coïncider l’origine du repère avec la position du point matériel à l’instant initial \(t=0\).
Préciser les conditions initiales pour la vitesse.
Intégrer les équations du mouvement pour déterminer \(\vec{v}(t)\).
En intégrant encore une fois ce résultat, déterminer l’expression de \(\vec{r}(t)\).
En déduire le temps \(T\) au bout duquel la flèche atteint sa cible.
Déterminer finalement la valeur de l’angle \(\alpha\) pour que la flèche atteigne sa cible. Faire l’application numérique.
Rappels
On rappelle que : \(\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\).
Solution
Question 1.
Système: la flêche, assimilée à un point matériel.
Bilan des forces: on néglige les frottements, la seule force qui s’applique sur le parcours est le poids.
\[\begin{split}\begin{cases}
x= v_0 t \cos{\alpha} + C'_x \\
y = C'_y \\
z = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin{\alpha} + C'_z \\
\end{cases}\end{split}\]
Comme toujours nous déterminons les constantes d’intégration en utilisant les conditions initiales. À t=0 on a:
\[\begin{split}\vec{r}=\begin{pmatrix}
\begin{align}
x(t)&= v_0 t \cos{\alpha} \\
y(t) &= 0 \\
z(t) &= -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin{\alpha} \\
\end{align}
\end{pmatrix}\end{split}\]
Question 6.
Lorsque la flèche atteind sa cible, on a: \(x(T)=v_0 T \cos{\alpha} =d\).
Et donc: \(\boxed{T= \frac{d}{v_0 \cos{\alpha}}}\)
Question 7.
Pour que la flèche atteigne sa cible il faut que à l’instant T son altitude \(z(t=T)=0\).
Ceci s’écrit:
\[\begin{split}\begin{align}
z(T) &=-\frac{1}{2} g T^2 + v_0 T \sin{\alpha} &= 0 \\
\Leftrightarrow T\times(-\frac{1}{2} g T + v_0 \sin{\alpha}) &= 0\\
\end{align}\end{split}\]
Pour qu’un produit de deux termes soit nul il faut que l’un des deux termes soit nul. Donc ici:
\[\begin{split}\begin{cases}
T=0\\
\text{ou}\\
-\frac{1}{2} g T + v_0 \sin{\alpha} =0
\end{cases}\end{split}\]
La première solution correspond au point à l’origine et ne nous intéresse pas. C’est la deuxième solution qui nous intéresse. Développons son expression en remplaçant T par l’expression déterminée dans la question précédente:
\[\begin{split}\begin{align}
-\frac{1}{2} g T + v_0 \sin{\alpha} &=0 \\
-\frac{1}{2} g \frac{d}{v_0 \cos{\alpha}} + v_0 \sin{\alpha} =0 \\
g d = v_0^2\, \underbrace{2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}_{=\sin{2\alpha}} \\
\boxed{\sin{2 \alpha} = \frac{g d}{v_0^2}}
\end{align}\end{split}\]
3.3 Propriétés du mouvement balistique \((\ast \ast)\)
En cours, nous avons établi que la trajectoire \(z(x)\) d’un point
matériel lancé depuis l’origine avec une vitesse initiale \(v_0\)
est une parabole d’équation :
où \(\alpha\) est l’angle que fait la vitesse initiale avec
l’horizontale. On donne : \(g=9,8~\text{m} \cdot \text{s}^{-2}\).
Évaluer la dérivée de la fonction \(z(x)\) en x = 0. Tracer la courbe représentative de \(z(x)\), en faisant figurer l’angle \(\alpha\).
Déterminer l’abscisse \(x_m\) correspondant au maximum de la fonction \(z(x)\) . En déduire l’altitude maximale \(z_{m}\) atteinte par le point matériel. On exprimera le résultat en fonction de g, \(v_0\) et α.
En déduire la valeur de l’angle α pour que l’abscisse \(x_m\) soit maximale (à vitesse fixée).
Rappels
On rappelle que : \(\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\).
Solution
Question 1.
La dérivée de \(z(x)\) vaut:
\[\parder{z}{x}=-\frac{g}{v_0^2\cos^2 \alpha} \times x + \tan{\alpha}\]
donc en x=0 elle vaut:
\[\parder{z}{x}(0)=\tan{\alpha}\]
L’angle α est donc l’angle entre l’axe (Ox) et la tangente à la courbe représentative de \(z(x)\) en x = 0.
La figure ci-dessous montre la courbe \(z(x)\).
Fig. 34 z(x). L’angle \(\theta\) représente l’angle de la tangente au point de départ.
Question 2.
Le maximum est le point de la courbe où la pente de celle-ci s’annule. La pente en tout point est donnée par la valeur de la dérivée de la courbe.
Au point \(x_{\rm m}\) on doit donc avoir:
\[\frac{dz}{dx}(x=x_{\rm m}) = 0\]
On a vu ci-dessus dans la question 1 que:
\[\frac{dz}{dx}=-\frac{g}{v_0^2 \cos^2{\alpha}} x + \tan{\alpha}\]
Il faut ensuite simplement trouver la valeur pour laquelle elle s’annule:
L’abscisse \(x_{\rm m}\) du maximum est une fonction de l’angle initial α: \(x_{\rm m} = \frac{v_0^2}{2g} \sin{2\alpha}\).
Le maximum est le point d’une fonction où la pente de celle-ci s’annule. La pente en tout point est donnée par la valeur de la dérivée de la courbe. Nous allons donc dériver l’expression de \(x_{\rm m}\) en fonction de α:
